2026-Centrale-Mp1-Corrigé

Centrale — MP et MPI — 2026 — Mathématiques 1

Sur quelques sous-groupes de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}

On fixe {n\geq2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles, {I_n} sa matrice identité, {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)} le groupe des matrices inversibles, {\mathcal S_n^+} et {\mathcal S_n^{++}} les matrices symétriques positives et définies positives. Les groupes orthogonal et spécial orthogonal sont notés {\operatorname O_n(\mathbb R)} et {\operatorname{SO}_n(\mathbb R)}.

La transposée est notée {M^\top} et la trace {\operatorname{tr}M}. On note {|X|} le cardinal d’un ensemble, avec la convention {|X|=+\infty} s’il est infini. Pour une partie finie {A} d’un groupe, {\langle A\rangle} désigne le sous-groupe engendré.

Partie A — Sous-groupes finis de {\operatorname O_n(\mathbb R)}

Un groupe {G} de neutre {e} est d’exposant fini s’il existe {m\geq1} tel que {x^m=e} pour tout {x\in G}. Pour un groupe matriciel, on pose {\operatorname{tr}G=\{\operatorname{tr}A:A\in G\}}.

I — Généralités

Soit {G} un sous-groupe de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}.

II — Sous-groupes finis de {\operatorname O_2(\mathbb R)}

On pose {R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\quad S_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}.}On admet les relations {\begin{array}{ll}R_\theta R_\phi=R_{\theta+\phi},&R_\theta S_\phi=S_{\theta+\phi},\\[8pt]S_\phi R_\theta=S_{\phi-\theta},&S_\theta S_\phi=R_{\theta-\phi}.\end{array}}

Q 5. On fixe {\theta\in\mathbb R} et {G=\langle R_\theta\rangle}.

Q 6. On fixe {\theta,\theta'\in\mathbb R} et {G=\langle R_\theta,R_{\theta'}\rangle}.

Q 8. Pour {m\geq1}, on note {D_m=\langle R_{2\pi/m},S_{\pi/2}\rangle}.

III — Caractérisation des sous-groupes finis de {\operatorname O_n}

On suppose {G\subset\operatorname O_n(\mathbb R)}. On veut montrer l’équivalence entre finitude de {G}, exposant fini et finitude de {\operatorname{tr}G}.

On suppose maintenant {\operatorname{tr}G} fini. On munit {\mathcal M_n(\mathbb R)} du produit scalaire {(A\mid B)=\operatorname{tr}(A^\top B)}. On pose {F=\operatorname{Vect}(G)} et {d=\dim F}.

Q 12. On pose {B=((A_i\mid A_j))_{1\leq i,j\leq d}}. La matrice {C} a pour colonnes les coordonnées des {A_i} dans la base canonique de {\mathcal M_n(\mathbb R)}.

Partie B — Sous-groupes compacts de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}

On travaille sur les colonnes {\mathbb R^n} avec le produit scalaire canonique {(\cdot\mid\cdot)} et la norme {\|\cdot\|}. On note {B(0,r)} la boule fermée de rayon {r\geq0} et {B=B(0,1)}.

I — Quelques propriétés utiles

Au début de cette sous-partie, {A} est symétrique définie positive et {B} symétrique.

Pour deux matrices symétriques, on écrit {B\preccurlyeq A} si {(BX\mid X)\leq(AX\mid X)} pour tout {X}.

II — Stricte log-concavité du déterminant

Une fonction {\varphi} sur un convexe est strictement concave si {\varphi(tA+(1-t)B)\geq t\varphi(A)+(1-t)\varphi(B)}, avec égalité exactement si {A=B} ou {t\in\{0,1\}}.

III — Groupe orthogonal associé à une matrice définie positive

Pour {A\in\mathcal S_n^{++}}, on pose {O(A)=\{M:M^\top AM=A\}}.

IV — Sous-groupes compacts de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}

Soit {G} un sous-groupe compact de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}. On veut le représenter comme un sous-groupe du groupe orthogonal.

Partie C — Croissance du groupe de Heisenberg discret

I — Croissance d’un groupe

Soit {G} engendré par une partie finie {S}. La longueur {\ell_S(g)} est le nombre minimal de facteurs de {S\cup S^{-1}} dans un mot représentant {g}, avec {\ell_S(e)=0}. Cela équivaut au minimum des sommes des valeurs absolues des exposants dans les écritures de l’énoncé.

On pose {V_S(p)=\{g:\ell_S(g)\leq p\}}. Le groupe a une croissance polynomiale de degré {d} s’il existe {\alpha,\beta>0} tels que {\alpha p^d\leq|V_S(p)|\leq\beta p^d} pour tout entier {p\geq1}.

II — Le groupe de Heisenberg discret

On prend {n=3} et {S=\begin{pmatrix}1&0&0\\[8pt]0&1&1\\[8pt]0&0&1\end{pmatrix},\quad T=\begin{pmatrix}1&1&0\\[8pt]0&1&0\\[8pt]0&0&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}1&0&1\\[8pt]0&1&0\\[8pt]0&0&1\end{pmatrix}.}On pose {\mathcal A=\{S,T,U\}} et {H=\langle\mathcal A\rangle}.