2025-X-Ens-PC-Corrigé

École polytechnique — ESPCI — Écoles normales supérieures — 2025 — PC

Perturbations de rang un de matrices

On note {\mathcal M_{m,n}(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles de taille {m\times n}, {\mathcal M_n(\mathbb R)} celui des matrices carrées, {\mathcal S_n(\mathbb R)} celui des matrices symétriques et {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} celui des matrices inversibles. L’identité est notée {I_n} et la transposée {A^T}.

Les vecteurs {x\in\mathbb R^n} sont identifiés à des matrices colonnes. On utilise le produit scalaire canonique {\langle x,y\rangle=x^Ty=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i} et la norme {\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}}.

Les deux premières parties sont indépendantes ; les quatrième et cinquième le sont entre elles et utilisent les résultats précédents.

Première partie

Soit {K} une matrice de rang {1}, écrite {K=uv^T}.

Deuxième partie

On suppose {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} et {u,v\in\mathbb R^n}, éventuellement nuls.

Troisième partie

On suppose {A\in\mathcal S_n(\mathbb R)}, {u\in\mathbb R^n} unitaire, et l’on pose {B=A+uu^T}.

Deux matrices sont égales si elles ont les mêmes images sur chacun des vecteurs d’une base.

Le théorème spectral fournit les valeurs propres {\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n} de {A} et une base orthonormée propre {(w_1,\ldots,w_n)} correspondante.

Soit {\lambda} une valeur propre de {A} de multiplicité {m\geq2}, et {E=\ker(A-\lambda I_n)}.

On note {J=\{k\in\{1,\ldots,n\}:\langle w_k,u\rangle\ne0\}}.

Dans la question 19, on suppose {\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n} et {J=\{1,\ldots,n\}}. Pour {x} distinct des {\lambda_k}, on pose {f(x)=\sum\limits_{k=1}^n\langle w_k,u\rangle^2/(x-\lambda_k)}.

Quatrième partie

Soit {A\in\mathcal S_n(\mathbb R)}, de valeurs propres {\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n}. On choisit une base orthonormée quelconque {(u_1,\ldots,u_n)} et une variable aléatoire {U} uniforme sur cet ensemble fini. On pose la matrice aléatoire {B=A+UU^T}. Pour {x\in\mathbb R}, {\chi_B(x)=\det(xI_n-B)} est une variable réelle.

Cinquième partie

On reprend {B=A+uu^T}, avec {A} symétrique et {\|u\|=1}. On admet l’entrelacement {\lambda_1\leq\mu_1\leq\lambda_2\leq\mu_2\leq\cdots\leq\lambda_n\leq\mu_n}.

On suppose qu’il existe {1\leq m\leq n-1} tel que {0=\lambda_1=\cdots=\lambda_m\lt \lambda_{m+1}\leq\cdots\leq\lambda_n}, et l’on fixe {0\lt \varepsilon\lt \lambda_{m+1}}.

On suppose désormais {\langle u,(A-\varepsilon I_n)^{-1}u\rangle\lt -1}.