2025-X-Ens-MpA-Corrigé

École polytechnique — Écoles normales supérieures — 2025

Mathématiques A — Filières MP–MPI

Tous les espaces vectoriels sont sur {\mathbb C}. On note {\mathbb N^*} l’ensemble des entiers strictement positifs, {\mathbb C[X]} l’anneau des polynômes et {\mathbb C(X)} le corps des fractions rationnelles.

Pour {m,n\in\mathbb N}, {\mathcal M_{m,n}(\mathbb C)} désigne l’espace des matrices de taille {m\times n}, {\mathcal M_m(\mathbb C)=\mathcal M_{m,m}(\mathbb C)} et {\mathrm{GL}_m(\mathbb C)} le groupe des matrices inversibles. On note {0_{m,n}} la matrice nulle, {0_m=0_{m,m}} et {I_m} la matrice identité.

La notation {\operatorname{diag}(M_1,\ldots,M_s)} désigne la matrice diagonale par blocs de blocs {M_1,\ldots,M_s}. Pour des scalaires, elle désigne la matrice diagonale correspondante.

Pour {r\geq1}, le bloc de Jordan {J_r} est défini par {(J_r)_{i,j}=\begin{cases}1&\text{si }i=j+1,\\[8pt]0&\text{sinon.}\end{cases}}En particulier, {J_1=(0)}. Une matrice diagonale par blocs de Jordan a pour blocs des matrices de cette forme.

On note {\mathrm{id}_V} l’identité de {V}. Si {W} est stable par un endomorphisme {u}, on note {u_W} l’endomorphisme induit sur {W}.

Le problème démontre la décomposition des endomorphismes nilpotents en blocs de Jordan, puis une version graduée. Il l’applique aux couples d’applications {V_1\to V_2\to V_3} et à la classification des couples de matrices rectangulaires.

I. Questions préliminaires

2°. Un invariant matriciel. Pour une matrice carrée {M} et {k\geq1}, on pose {\begin{array}{rl}\delta_k(M)&=-\dim\ker M^{k-1}\\[4pt]&\quad+2\dim\ker M^k-\dim\ker M^{k+1}\end{array}}

On pourra utiliser ces relations pour un nombre fini quelconque de blocs.

II. Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent

L’espace {\mathbb C[X^{\pm1}]} est engendré par les {X^k}, {k\in\mathbb Z}. On pose {D=X^{-1}\mathbb C[X^{-1}]}, de sorte que {\mathbb C[X^{\pm1}]=D\oplus\mathbb C[X].}On note {\Pi} la projection sur {D} parallèlement à {\mathbb C[X]}. Ainsi, si {F=\sum\limits_{k=-p}^qf_kX^k}, alors {\Pi(F)=\sum\limits_{k=-p}^{-1}f_kX^k}.

3°. L’application linéaire {\widehat\xi} et l’endomorphisme {\xi}. On pose {\widehat\xi(F)=\Pi(XF)} et {\xi=\widehat\xi_D}.

III. Prolongements compatibles

Soient {V} de dimension finie, {u} nilpotent, {W} stable par {u} et {\varphi:W\to D} linéaire, avec {\xi\circ\varphi=\varphi\circ u_W}.

Pour {W'\supset W} stable par {u}, un prolongement compatible est une application linéaire {\varphi':W'\to D} dont la restriction à {W} est {\varphi} et qui vérifie {\xi\circ\varphi'=\varphi'\circ u_{W'}}.

6°. Prolongement compatible donné par un vecteur. On suppose {W\ne V} et l’on fixe {v\in V\setminus W}.

On note {G_v=\varphi(u^r(v))}.

IV. Théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotents

On suppose {V} de dimension finie et {u} nilpotent d’indice {n}, c’est-à-dire {u^n=0} et {u^{n-1}\ne0}.

8°. Scindage d’un sous-espace cyclique maximal. On choisit {v_0} tel que {u^{n-1}(v_0)\ne0}.

La partie III fournit un prolongement compatible {\psi:V\to D} de {\varphi}.

V. Version graduée du théorème

On se donne {V} de dimension finie, {u} nilpotent, {N\geq1}, {\zeta=\exp(2i\pi/N)} et {h} inversible tels que {h^N=\mathrm{id}_V,\quad huh^{-1}=\zeta u.}11°. Propriétés de {h}.

12°. Recherche d’un supplémentaire stable. Soit {W} stable par {u} et {h}, admettant un supplémentaire {W'} stable par {u}. On note {p} le projecteur sur {W} parallèlement à {W'}.

On pose {\overline p=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}h^kph^{-k}.}

14°. Un exemple. On suppose {N=4} et {\ker(h-\mathrm{id}_V)=\{0\}}. On note {V_j=\ker(h-\zeta^j\mathrm{id}_V)} pour {0\leq j\leq3}. La donnée de {u} équivaut à celle des applications induites {u_1:V_1\to V_2} et {u_2:V_2\to V_3}.

VI. Classification des couples de matrices rectangulaires

On fixe {m,n\geq1}. Deux couples {(A,B)} et {(A',B')} de {\mathcal M_{n,m}(\mathbb C)\times\mathcal M_{m,n}(\mathbb C)} sont simultanément équivalents lorsqu’ils représentent les mêmes applications {\alpha:\mathbb C^m\to\mathbb C^n} et {\beta:\mathbb C^n\to\mathbb C^m} dans deux choix de bases de ces espaces.

On pose {M_{A,B}=\begin{pmatrix}0_m&B\\[8pt]A&0_n\end{pmatrix},\quad H=\begin{pmatrix}I_m&0\\[8pt]0&-I_n\end{pmatrix}.}

Désormais, {A,B} sont fixées et l’on écrit {M=M_{A,B}}.

16°. Deux applications linéaires : décomposition.

Deux couples {(M,H)} et {(M',H')} sont simultanément semblables s’il existe une même matrice inversible {R} telle que {M'=RMR^{-1}} et {H'=RHR^{-1}}.

18°. Cas inversible. On suppose maintenant {M} inversible.