2025-Mines-Psi2-Corrigé

Mines-Ponts — PSI — 2025 — Mathématiques II

Modèle SIR pour la propagation d’épidémie et séries de Dirichlet

Pour un intervalle {J}, on utilise les espaces {\mathcal C^k(J,\mathbb R)} et {\mathcal C^\infty(J,\mathbb R)}. Pour une fonction bornée, {\|f\|_{\infty,J}=\sup_{x\in J}|f(x)|}.

On étudie l’équation {y'(x)+y(x)+1=\frac12e^{y(x)}.\tag{E}}On admet que le problème de Cauchy {(C)} formé de cette équation et de {y(0)=0} possède une unique solution {y\in\mathcal C^\infty(\mathbb R_+,\mathbb R)}.

Partie I — Linéarisation de {(E)}

Au voisinage de zéro, on approche {e^{y(x)}} par {1+y(x)}. On considère donc {u'(x)+u(x)+1=\frac12(1+u(x)).\quad(E_\ell)}Le problème {(C_\ell)} associe à cette équation la condition {u(0)=0}.

On admet désormais que {y} est décroissante sur {\mathbb R_+} et qu’elle admet une limite finie {c} à l’infini.

Partie II — Séries de Dirichlet

Dans ce sujet, une série de Dirichlet est une série de fonctions {f_n(x)=a_ne^{-\lambda_nx}} sur {\mathbb R_+}, telle qu’il existe {M>0} avec {|a_n|\leq M/2^n}, et où {(\lambda_n)} est strictement croissante, {\lambda_0=0}, {\lambda_n\to+\infty} et {\lambda_n=O(n)}.

Pour {k\in\mathbb N}, on pose {b_k=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\lambda_n^ka_n}.

Partie III — Relations sur les coefficients

On suppose désormais que la solution de {(C)} s’écrit {y(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_ne^{-\lambda_nx}}, avec les hypothèses de la partie II. On pose {g(x)=e^{y(x)}}.

Partie IV — Approximation de la solution {y}

Pour {N\geq1}, on pose {\beta_k=\sum\limits_{n=1}^N\lambda_n^ka_n} et {y_N(x)=\sum\limits_{n=0}^Na_ne^{-\lambda_nx}}. On cherche les coefficients {a_1,\ldots,a_N} à partir des exposants et des moments tronqués.

On note {A=(a_1,\ldots,a_N)^\top} et {B=(\beta_0,\ldots,\beta_{N-1})^\top}.

Partie V — Modèle de propagation d’épidémie SIR

La population est divisée entre susceptibles {S}, infectés {I} et rétablis {R}. Les fonctions représentent des proportions et vérifient {S+I+R=1}. Une personne rétablie reste immunisée.

Le modèle est le système {\begin{cases}S'=-IS,\\[8pt]I'=IS-I,\\[8pt]R'=I,\\[8pt](S(0),I(0),R(0))=(S_0,I_0,R_0).\end{cases}\tag{F}}Les données initiales sont dans {[0,1]} et de somme {1}. On admet l’existence et l’unicité d’une solution de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R_+}, ainsi que le fait que deux solutions de données initiales différentes ne se rencontrent jamais au même instant.

On suppose désormais {S_0=I_0=1/2}, {R_0=0}, et on pose {h(x)=\ln(S(x)/S_0)=\ln(2S(x))}.

On approche {S} par {S_N(x)=\frac12e^{y_N(x)}}.

Partie VI — Modèle probabiliste

Toutes les variables sont définies sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. Pour une suite {(U_n)}, on pose {\Delta U_n=U_{n+1}-U_n}. On convient que {\binom ab=0} si {b>a}.

Dans cette partie, {M\geq1} désigne l’effectif total et {K\in\{0,\ldots,M\}}. On pose {E=\{(s,i,r)\in\mathbb N^3:s+i+r=M\}}. Les effectifs au matin du jour {n} sont {\widetilde S_n,\widetilde I_n,\widetilde R_n}, avec {\widetilde S_0>0} et {\widetilde I_0\geq1}.

Conditionnellement à l’état {(s,i,r)}, chacune des {s} personnes susceptibles rencontre un groupe de {K} personnes choisi uniformément parmi les {M} individus, indépendamment des choix des autres susceptibles. Elle devient infectée le lendemain si ce groupe contient au moins une personne infectée.

Chaque personne déjà infectée guérit à la fin de la journée avec une probabilité {\rho\in]0,1[}. On notera {A_{s,i,r}} l’événement {\{(\widetilde S_n,\widetilde I_n,\widetilde R_n)=(s,i,r)\}}.