2025-Mines-Pc2-Corrigé

Mines–Ponts — 2025 — Mathématiques II — PC

Étude des séries congruo-harmoniques alternées

Pour {p,q\in\mathbb N^*} et {k\geq0}, on pose {u_k=u_{p,q;k}=(-1)^k/(pk+q)}. On note {S_{p,q}} la somme de cette série lorsqu’elle converge, et {\varphi_{p,q}(n)=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k/(pk+q)} ses sommes partielles.

On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x} et {p\mid q} la divisibilité de l’entier {q} par l’entier {p}.

Préliminaires

1. Expression intégrale de {S_{p,q}}

On fixe {p,q\geq1} et {\alpha_{p,q}=p/q>0}. Pour {t\geq0}, on définit {I_{p,q}(t)=\int_0^1\frac{x^{(t+1)\alpha_{p,q}}}{1+x^{\alpha_{p,q}}}\,dx.}

2. Calcul dans trois cas particuliers

On définit {E_1=\{(p,q):p=q\}}, {E_2=\{(p,q):p\lt q,\ p\mid q\}} et {E_3=\{(p,q):p>q\}}. On pose {F(X)=X^{q-1}/(1+X^p)}.

Dans la suite de cette partie, on fixe {(p,q)\in E_3}, donc {p>q\geq1}.

On admet la continuité des {F_k} sur {[0,1]} et la formule {\begin{array}{rl}\displaystyle\int_0^1F_k(t)\,dt={}&\cos(q\theta_k)\ln\left(2\sin\dfrac{\theta_k}2\right)\\[8pt]&-\dfrac\pi{2p}(p-1-2k)\sin(q\theta_k).\end{array}}

3. Quelques calculs de probabilités

On tire indépendamment, avec remise, deux entiers {p,q} uniformes sur {\{1,\ldots,n\}}. On note {E_n} l’événement {(p,q)\in E_1\cup E_2\cup E_3}, puis {A_n=\{p=q\}}, {B_n=\{q>p,\ p\mid q\}} et {C_n=\{p>q\}}.

4. Vitesse de convergence

Pour une suite {u_n\to l}, avec {u_n\ne l} à partir d’un certain rang, on définit, si elle existe, {V=\lim\limits_{n\to\infty}|(u_{n+1}-l)/(u_n-l)|}. La convergence est dite supra-linéaire si {V=0}, linéaire si {0\lt V\lt 1} et infra-linéaire si {V=1}.

La vitesse d’une série est celle de ses sommes partielles. On pose {R_{p,q}(t)=I_{p,q}(t)/q}.