2025-Mines-Mp2-Corrigé

Mines-Ponts 2025 — Mathématiques II — MP

Critère de Schur-Cohn et généralisation au cas non inversible

Notations et objectifs

On fixe {n\geq1} et l’on note {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {\mathcal S_n(\mathbb R)}, {\mathcal D_n(\mathbb R)} et {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)} les ensembles des matrices réelles carrées, symétriques, diagonales et inversibles. Une matrice d’ordre {1} est identifiée à son coefficient.

On note {M^{\mathsf T}} la transposée, {M_{ij}} le coefficient de ligne {i}, colonne {j}, et {\pi(M)} le nombre de valeurs propres réelles strictement positives, comptées avec multiplicité. On utilise la notation {\operatorname{Diag}(u_1,\ldots,u_n)}.

Le PGCD unitaire de deux polynômes non simultanément nuls est noté {f\wedge g}. On identifie un polynôme à sa fonction associée. On note {\sigma(f)} le nombre de ses racines réelles dans {]-1,1[}, comptées avec multiplicité ; par exemple {\sigma(X^2(X-1)(X+1))=2}.

Une racine réelle {\alpha} de {f} est dite stable si {\alpha\ne0} et {f(\alpha)=f(\alpha^{-1})=0}.

Pour {f=\sum\limits_{k=0}^ma_kX^k} de degré {m}, son réciproque est {f_0=\sum\limits_{k=0}^ma_{m-k}X^k}.

On pose {U=(1,0,\ldots,0)^{\mathsf T}} et {S_{ij}=\delta_{i+1,j}} : {S} a des {1} juste au-dessus de la diagonale et des {0} ailleurs. On définit

{J(f)=f_0(S)^{\mathsf T}f_0(S)-f(S)^{\mathsf T}f(S).}Le polynôme {p=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k}, avec {a_n\ne0}, est scindé sur {\mathbb R}. Ses racines, comptées avec multiplicité, sont {\alpha_1\leq\cdots\leq\alpha_n}.

On veut prouver {\sigma(p)=\pi(J(p))} lorsque {J(p)} est inversible, puis compter les racines dans {]-1,1[} dans le cas général. Ces résultats interviennent dans l’étude de la stabilité des systèmes dynamiques.

A — Polynôme réciproque et stabilité des racines

Jusqu’à la fin de A, toutes les racines de {p} sont supposées stables et simples.

On pose {h=Xp'}, de degré {n}, et l’on note {h_0} et {(p')_0} les réciproques respectifs de {h} et de {p'}.

B — Liberté d’une famille de polynômes

Pour {1\leq j\leq n}, on pose

{f_j=a_n\prod_{k=j+1}^n(1-\alpha_kX)\prod_{k=1}^{j-1}(X-\alpha_k),}avec la convention du produit vide égal à {1}.

Jusqu’à la fin de B, aucune racine de {p} n’est supposée stable.

On note {E} l’espace des fractions rationnelles réelles dont les pôles éventuels sont des inverses de racines de {p}. Leurs dénominateurs peuvent être choisis comme produits finis de facteurs {1-\alpha_iX}, le produit vide étant admis.

On pose

{\begin{array}{rl}\displaystyle g_j&=\displaystyle\frac{f_j}{\prod_{i=1}^n(1-\alpha_iX)},\\[12pt]\displaystyle P_j(f)&=\displaystyle\frac{(1-\alpha_jX)f-(1-\alpha_j^2)f(\alpha_j)}{X-\alpha_j}\end{array}}

C — Expression de {J(p)}

Pour {1\leq j\leq n}, on pose {B_j=S-\alpha_jI_n} et {C_j=I_n-\alpha_jS}.

D — Cas inversible : critère de Schur-Cohn

On munit l’espace des colonnes de son produit scalaire euclidien. Un sous-espace {F} vérifie {(C_M)} si {X^{\mathsf T}MX\gt0} pour tout {X\in F\setminus\{0\}}.

On note {d(M)} la dimension maximale d’un tel sous-espace. Ce maximum existe : le sous-espace nul convient et les dimensions possibles appartiennent à {\{0,\ldots,n\}}.

E — Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité

F — Un cas particulier

Toutes les racines de {p} sont maintenant supposées stables et simples. On rappelle {h=Xp'} et {p=\lambda p_0} avec {\lambda\in\{-1,1\}}.

Pour {r\gt0}, on pose {F(r)=J(p(rX))}.

On admet que les valeurs propres d’une matrice symétrique, rangées dans l’ordre décroissant et comptées avec multiplicité, dépendent continûment de la matrice.

G — Méthode générale

On revient au cas général. On construit {f=p\wedge p_0} et {g} défini par {p=fg}.