CCINP 2025 — Mathématiques 1 — MP
Le sujet comporte deux exercices et un problème indépendants.
Exercice I
Q 1. Soit {f:]-1,1[\to\mathbb R^2} de classe {\mathcal C^1}. Justifier que {f'(]-1,1[)} est connexe par arcs.
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Q 2. On considère
{f(t)=\begin{cases}(0,0)&-1\lt t\leq0,\\[8pt](t^2\sin(1/t),t^2\cos(1/t))&0\lt t\lt1.\end{cases}}On utilise la norme euclidienne {\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}}.
Q 2. a) Montrer que {f} est dérivable en {0}, puis sur {]-1,1[}, et préciser {f'(t)} sur {]-1,0]} et {]0,1[}.
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Q 2. b) Montrer que {\|f'(t)\|_2\geq1} pour {0\lt t\lt1} et en déduire que {f'(]-1,1[)} n’est pas connexe par arcs. Un dessin pertinent avec la boule unité pourra servir de preuve.
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Exercice II
Pour {(x,y)\in\mathbb R^2}, on pose
{f(x,y)=(2-x-y)^2+(1-x)^2+(1-2x-y)^2.}On cherche son minimum global par deux méthodes.
Q 3. Première méthode. Déterminer le seul point critique de {f} et prouver à l’aide de la Hessienne qu’il s’agit d’un minimum local. En admettant qu’il est global, donner la valeur de {\min_{\mathbb R^2}f}.
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Q 4. Deuxième méthode. Dans l’espace euclidien
{\mathbb R^3}, on pose
{a=(2,1,1)},
{u=(1,1,2)},
{v=(1,0,1)} et
{F=\operatorname{Vect}(u,v)}.
Soit {b} le projeté orthogonal de {a} sur {F}.
Justifier que {\langle a-b,u\rangle=\langle a-b,v\rangle=0}, calculer {b}, puis déterminer {\min_{\mathbb R^2}f}.
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Problème — Autour du théorème de comparaison avec une intégrale
On démontre le théorème, puis on étudie des exemples, des applications et deux contre-exemples.
Partie I — Théorème de comparaison avec une intégrale
Dans cette partie, {f} est continue, positive et décroissante sur {\mathbb R_+}. On pose
{S_n=\sum_{k=0}^nf(k),\quad J_n=\int_0^nf(t)\,dt,}et, pour {k\geq1}, {I_k=\int_{k-1}^kf(t)\,dt}.
Q 5. Préciser la monotonie de
{(S_n)} et
{(J_n)}, puis montrer que, pour
{k\geq1},
{f(k)\leq\int_{k-1}^kf(t)\,dt\leq f(k-1).}
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Q 6. Montrer que, pour {n\geq1}, {S_n-f(0)\leq J_n\leq S_{n-1}}.
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Q 7. (1) Montrer que {f} est intégrable sur {\mathbb R_+} si et seulement si la série {\sum f(n)} converge.
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Q 7. (2) Montrer que la série
{\sum_{n\geq1}\left(\int_{n-1}^nf(t)\,dt-f(n)\right)}converge.
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Q 8. Pour {\alpha\gt0} et {x\geq2}, on pose {f(x)=1/(x(\ln x)^\alpha)}.
Q 8. a) Étudier la monotonie de {f}, calculer {\int_2^xf(t)\,dt} et déterminer la nature de {\sum\limits_{n\geq2}1/(n(\ln n)^\alpha)}.
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Q 8. b) Pour {\alpha=2}, encadrer {\sum\limits_{n=2}^{+\infty}1/(n(\ln n)^2)} en fonction de {\ln2}.
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Q 9. Pour {n\geq1}, on pose {T_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k-\ln n}.
Q 9. a) À l’aide de Q7. (2), montrer que {(T_n)} converge. On note {\gamma} sa limite, appelée constante d’Euler.
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Q 9. b) Justifier que {\sum\limits_{k=1}^n1/k=\ln n+\gamma+o(1)}, puis donner un équivalent de cette somme à l’infini.
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Q 10. On considère la série de fonctions {\sum\limits_{n\geq1}g_n}, où {g_n(x)=x/(n^2+x^2)} pour {x\gt0}.
Q 10. a) Étudier la convergence normale de cette série sur {]0,+\infty[}.
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Q 10. b) Pour
{x\gt0} fixé, on pose
{f(t)=x/(t^2+x^2)}. Montrer que, pour
{n\geq1},
{\int_1^{n+1}f(t)\,dt\leq\sum_{k=1}^nf(k)\leq\int_0^nf(t)\,dt.}
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Q 10. c) En déduire que, pour
{x\gt0},
{\frac\pi2-\arctan\frac1x\leq\sum_{n=1}^{+\infty}g_n(x)\leq\frac\pi2.}
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Q 10. d) Déterminer {\lim\limits_{x\to+\infty}\sum\limits_{n\geq1}g_n(x)}. La série converge-t-elle uniformément sur {]0,+\infty[} ?
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Partie II — Contre-exemples
Q 11. Pour {x\geq1}, on pose {f(x)=|\sin(2\pi x)|}.
Q 11. a) Calculer {\int_n^{n+1}f(t)\,dt} pour {n\geq1}. On pourra découper l’intégrale au point {n+1/2}.
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On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière du réel {x}.
Q 11. b) Montrer que, pour
{x\geq1},
{\int_1^x|\sin(2\pi t)|\,dt\geq\frac2\pi(\lfloor x\rfloor-1).}La fonction {f} est-elle intégrable ? Quelle est la nature de {\sum\limits_{n\geq1}f(n)} ?
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Q 12. Construire une fonction
{f} continue, positive et intégrable sur
{[1,+\infty[} telle que
{\sum\limits_{n\geq1}f(n)} diverge.
Pour chaque {n\geq1}, trouver {a_n} afin que le triangle de base {[n-a_n,n+a_n]} et de hauteur {1} ait pour aire {1/n^2}. Dessiner une courbe formée de ces triangles, avec {f(n)=1}, et nulle en dehors de leurs bases. Montrer qu’elle fournit le contre-exemple.
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