Concours national commun 2025 — Mathématiques 1 — MP
Le sujet comporte un exercice et un problème indépendants.
Exercice
Soit {f:\mathbb R\times\mathbb R_+\to\mathbb R} continue. Pour tout réel {x} pour lequel l’intégrale existe, on pose
{\varphi_f(x)=\int_0^{+\infty}f(x,t)e^{-t}\,dt.}On suppose {f} bornée : il existe {M\geq0} tel que {|f(x,t)|\leq M} pour tout {(x,t)\in\mathbb R\times\mathbb R_+}.
1. a) Montrer que {|f(x,t)e^{-t}|\leq Me^{-t}} pour tout {(x,t)\in\mathbb R\times\mathbb R_+}.
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1. b) En déduire que {\varphi_f} est définie sur {\mathbb R}.
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1. c) Montrer que, pour tout {x\in\mathbb R}, {\lim\limits_{t\to+\infty}f(x,t)e^{-t}=0}.
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2. On considère {g(x,t)=\cos(xt)} et {h(x,t)=\sin(xt)} sur {\mathbb R\times\mathbb R_+}.
2. a) Vérifier que {\varphi_g} et {\varphi_h} sont bien définies sur {\mathbb R}.
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2. b) Montrer par intégration par parties que {\varphi_g(x)=1-x\varphi_h(x)} pour tout {x\in\mathbb R}.
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2. c) Montrer par intégration par parties que {\varphi_h(x)=x\varphi_g(x)} pour tout {x\in\mathbb R}.
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2. d) En déduire que {\varphi_g(x)=1/(1+x^2)} pour tout {x\in\mathbb R}.
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2. e) Montrer que, pour tout
{x\gt0},
{\int_0^x\varphi_g(u)\,du+\int_0^{1/x}\varphi_g(u)\,du=\frac\pi2}et
{\int_0^x\varphi_h(u)\,du-\int_0^{1/x}\varphi_h(u)\,du=\ln x.}
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Problème
Soit {f} continue sur {D_1\times D_2} à valeurs réelles, où {D_1,D_2} sont deux intervalles réels. Pour {n\in\mathbb N} et {t\in D_2}, on définit {g_{(n,t)}(x)=x^nf(x,t)} sur {D_1}.
On note {\mathbb R_+^*} l’ensemble des réels strictement positifs et l’on adopte la convention {0^0=1}.
Partie 1 — Étude d’une série géométrique particulière et son application
On prend ici {f(x,t)=1} sur {\mathbb R^2}, et l’on pose {f_n(x)=g_{(n,t)}(x)=x^n}.
1. a) Montrer que, pour
{n\in\mathbb N} et
{x\ne1},
{\sum_{k=0}^nf_k(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.}
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1. b) En déduire que, pour
{n\geq1} et
{x\ne1},
{\sum_{k=1}^nkf_{k-1}(x)=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}.}
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1. c) i) Justifier que, pour {x\in]-1,1[}, {\lim\limits_{n\to+\infty}nx^n=0}.
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1. c) ii) En déduire que, pour
{x\in]-1,1[}, la série
{\sum\limits_{n\geq1}nf_{n-1}(x)} converge et
{\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}.}
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2. Pour {j\in\mathbb N}, on considère
{S_j(x)=\sum_{n=j}^{+\infty}\binom nj f_{n-j}(x).}
2. a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant {S_j}.
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2. b) Montrer que {S_j} est dérivable sur {]-1,1[} et que {S_j'(x)=(j+1)S_{j+1}(x)}.
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2. c) Montrer par récurrence que {S_j(x)=1/(1-x)^{j+1}} pour tout {j\in\mathbb N} et tout {x\in]-1,1[}.
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2. d) Montrer que, pour
{x\in]-1,1[}, la série
{\sum\limits_{n\geq1}n^2f_{n-1}(x)} converge et
{\sum_{n=1}^{+\infty}n^2x^{n-1}=\frac{1+x}{(1-x)^3}.}
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3. Soit {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)} un espace probabilisé et {p\in]0,1[}. La variable aléatoire {X} suit la loi géométrique de paramètre {p} :
{X(\Omega)=\mathbb N^*,\quad \mathbb P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\quad(k\geq1).}
3. a) Montrer que {X} admet une espérance et la déterminer en fonction de {p}.
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3. b) Montrer que {X^2} admet une espérance et la déterminer en fonction de {p}.
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3. c) En déduire la variance de {X}.
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Partie 2 — La résolution d’une équation différentielle
Pour {n\in\mathbb N}, on considère sur {]0,+\infty[} l’équation
{(E_n)\quad y''+y=\frac{n!}{t^{n+1}}.}On prend ici {f(x,t)=e^{-tx}/(1+x^2)} sur {\mathbb R_+\times\mathbb R_+^*}.
1. Montrer que, pour tout {t\gt0}, l’intégrale {\int_0^{+\infty}g_{(n,t)}(x)\,dx} converge.
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On note, pour {n\in\mathbb N} et {t\gt0},
{h_n(t)=\int_0^{+\infty}g_{(n,t)}(x)\,dx.}
2. Montrer que {h_n} est dérivable sur {\mathbb R_+^*} et que {h_n'=-h_{n+1}}.
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3. Montrer que, pour tout {k\in\mathbb N}, {h_n} est de classe {\mathcal C^k} sur {\mathbb R_+^*} et déterminer {h_n^{(k)}} en fonction de {h_{n+k}}.
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4. Pour {n\in\mathbb N} et {t\gt0}, on pose
{I_n(t)=\int_0^{+\infty}x^ne^{-tx}\,dx.}
4. a) Vérifier que {I_n(t)} existe pour tout {n\in\mathbb N} et {t\gt0}.
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4. b) Montrer que, pour {n\geq1} et {t\gt0}, {I_n(t)=(n/t)I_{n-1}(t)}.
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4. c) Montrer que {I_n(t)=n!/t^{n+1}} pour tout {n\in\mathbb N} et {t\gt0}.
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4. d) En déduire que {h_n''(t)+h_n(t)=n!/t^{n+1}}.
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4. e) Déterminer {\lim\limits_{t\to+\infty}h_n(t)}.
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Les deux sous-questions suivantes apparaissent sans nouveau numéro principal dans le document source.
a) Résoudre sur {]0,+\infty[} l’équation {(E_H)\colon y''+y=0}.
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b) Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N}, {(E_n)} admet sur {]0,+\infty[} une unique solution {k_n} telle que {k_n(t)\to0} lorsque {t\to+\infty}, et préciser {k_n}.
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Partie 3 — Une autre expression de {\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx}}{1+x^2}\,dx}
1. Soit {k\in\mathbb N} et {\varphi\in\mathcal C^k(\mathbb R,\mathbb R)} telle que {\int_1^{+\infty}\varphi(t)\,dt} converge. Pour {x\gt0}, on pose {\psi(x)=\int_x^{+\infty}\varphi(t)\,dt}. Montrer que {\psi} est de classe {\mathcal C^{k+1}} et déterminer {\psi^{(k+1)}}.
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2. a) Montrer que, pour
{t\gt0},
{u\in\mathbb R} et
{s\gt t},
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_t^s\frac{\sin(x\!-\!u)}x\,dx\\[8pt]\displaystyle=\frac{\cos(t\!-\!u)}t\!-\!\frac{\cos(s\!-\!u)}s\!-\!\int_t^s\frac{\cos(x\!-\!u)}{x^2}dx\end{array}}
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2. b) Montrer que, pour
{t\gt0} et
{u\in\mathbb R}, l’intégrale
{\int_t^{+\infty}\sin(x-u)/x\,dx} converge et que
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_t^{+\infty}\frac{\sin(x-u)}x\,dx\\[8pt]\displaystyle\quad=\frac{\cos(t-u)}t-\int_t^{+\infty}\frac{\cos(x-u)}{x^2}\,dx\end{array}}
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On pose, pour {t\gt0} et {u\in\mathbb R},
{\phi(t,u)=\int_t^{+\infty}\frac{\sin(x-u)}x\,dx,\quad \theta(t)=\phi(t,t).}
2. c) Montrer que {\theta} est de classe {\mathcal C^k} sur {\mathbb R_+^*} pour tout {k\in\mathbb N}.
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2. d) Montrer que {\theta''(t)+\theta(t)=1/t} pour tout {t\gt0}.
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2. e) Montrer que {\lim\limits_{t\to+\infty}\theta(t)=0}.
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3. En déduire que, pour tout
{t\gt0},
{\int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx}}{1+x^2}\,dx=\int_t^{+\infty}\frac{\sin(x-t)}x\,dx.}
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4. Déterminer la nature de la série
{\sum\limits_{n\geq0}u_n}, où
{u_n=\int_n^{+\infty}\frac{\sin(x-n)}x\,dx.}
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Partie 4 — Application : calcul de {\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx}
1. Montrer que {\int_0^{+\infty}\sin x/x\,dx} converge.
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2. a) Montrer que, pour
{t\gt0},
{\int_0^1\sin x/((x+t)x)\,dx} converge et que
{\left|\int_0^1\frac{\sin x}{(x+t)x}\,dx\right|\leq\int_0^1\frac{dx}{x+t}.}
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2. b) Montrer que
{\int_1^{+\infty}\sin x/x\,dx} converge et que, pour
{t\gt0},
{\left|\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{(x+t)x}\,dx\right|\leq\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}.}
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2. c) Montrer que, pour
{t\gt0},
{\left|\theta(t)-\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx\right|\leq t\bigl(1+\ln(1+t)-\ln t\bigr).}
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3. En déduire la valeur de {\int_0^{+\infty}\sin x/x\,dx}.
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4. Montrer que {I=\int_0^{+\infty}(\sin x/x)^2\,dx} converge et calculer sa valeur.
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5. Montrer que les intégrales
{J=\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\,dx,\quad K=\int_0^{+\infty}\frac{\sin^4x}{x^2}\,dx}convergent et calculer leurs valeurs.
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