2025-Centrale-Pc2-Corrigé

Centrale–Supélec — 2025 — Mathématiques 2 — PC

Pour {n\in\mathbb N}, {\mathcal T_n} désigne l’espace des polynômes trigonométriques {x\mapsto\sum\limits_{k=-n}^nc_ke^{ikx}}, à coefficients complexes. On note {C^0_{2\pi}} l’espace des fonctions continues {2\pi}-périodiques sur {\mathbb R}, et {C^1_{2\pi}} son sous-espace de fonctions de classe {C^1}.

Pour {g\in C^0_{2\pi}} et {h>0}, on pose {\omega_g(h)=\sup_{|t-s|\leq h}|g(s)-g(t)|}. Pour une fonction bornée {f}, on note {\|f\|_\infty=\sup_{t\in\mathbb R}|f(t)|}.

Partie A — Préliminaires

On admet que {\lim\limits_{h\to0^+}\omega_g(h)=0} pour tout {g\in C^0_{2\pi}}. Dans la question 3, {h,h'>0} et {g\in C^1_{2\pi}}.

Partie B — Approximation trigonométrique

I. La fonction {J_n}

Pour {n\in\mathbb N}, on définit {\varphi_n(t)=e^{-nit/2}\sum\limits_{k=0}^ne^{ikt}} et {f_n(t)=\varphi_n(t)^4}. Dans cette sous-partie, {n} est fixé.

On pose désormais {J_n=c_nf_n}. Cette fonction est réelle positive ou nulle, appartient à {\mathcal T_{2n}} et vérifie {\int_{-\pi}^{\pi}J_n=1}.

II. Majoration du premier moment

III. Approximation uniforme

On fixe {g\in C^0_{2\pi}} et l’on pose {T_ng(x)=\int_{-\pi}^{\pi}J_n(x-t)g(t)\,dt}.

Dans la question 15 seulement, on suppose {g\in C^1_{2\pi}}.

Dans la question 16, on suppose seulement {g\in C^0_{2\pi}} et l’on rappelle que {\omega_g(h)\to0} lorsque {h\to0^+}.

Partie C — Inégalités de dérivation

On note {\mathbb C_n[X]} l’espace des polynômes complexes de degré au plus {n}.

I. On fixe {n\geq1} et {T=X^n+1}.

On note {z_1,\ldots,z_n} les racines de {T}.

Pour {0\leq\ell\leq n}, on pose {F=X^\ell/(X^n+1)}. Sa décomposition en éléments simples est {F=\sum\limits_{k=1}^n\mu_k/(X-z_k)+E}, avec {E\in\mathbb C[X]}.

II. Pour {P\in\mathbb C[X]}, on pose {\|P\|=\sup_{|z|=1}|P(z)|}.

Partie D — Fonctions höldériennes

Une fonction {g:I\to\mathbb C} est {\alpha}-höldérienne, pour {0\lt \alpha\leq1}, s’il existe {K>0} tel que {|g(x)-g(y)|\leq K|x-y|^\alpha} pour tous {x,y\in I}.

I. Exemples

On fixe {0\lt \alpha\lt 1} et {h_\alpha(x)=x^\alpha} sur {\mathbb R_+}.

On définit {k(x)=x\ln x} pour {x>0} et {k(0)=0}.

II. Espace {H^\alpha_{2\pi}} et approximation

Pour {0\lt \alpha\lt 1}, {H^\alpha_{2\pi}} désigne l’ensemble des fonctions {\alpha}-höldériennes et {2\pi}-périodiques sur {\mathbb R}. Pour {f\in C^0_{2\pi}}, on pose {\delta_n(f)=\inf_{p\in\mathcal T_n}\|f-p\|_\infty}.

III. Étude d’une réciproque

On fixe {0\lt \alpha\lt 1} et {f\in C^0_{2\pi}} telle que {\delta_n(f)=O(n^{-\alpha})}. On choisit {C>0} avec {\delta_n(f)\leq Cn^{-\alpha}} pour tout {n\geq1}.

Pour {n\geq0}, on choisit {p_n\in\mathcal T_{2^n}} tel que {\|f-p_n\|_\infty=\delta_{2^n}(f)}.