2025-Centrale-MpMpi2-Corrigé

Centrale-Supélec 2025 — Mathématiques 2 — MP, MPI

Étude d’un modèle probabiliste de ferromagnétisme

Notations et rappels

Pour des ensembles finis {E_1,\ldots,E_n} et une fonction réelle {a} définie sur leur produit, on note

{\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in E_1\times\cdots\times E_n}a(x_1,\ldots,x_n)}la somme itérée sur {x_1\in E_1}, puis {x_2\in E_2}, jusqu’à {x_n\in E_n}.

Pour un {n}-uplet de variables aléatoires réelles finies {(X_1,\ldots,X_n)} et une fonction réelle {f} définie sur le produit de leurs images, la formule de transfert s’écrit

{\begin{array}{l}\mathbb E(f(X_1,\ldots,X_n))\\[8pt]\displaystyle=\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in X_1(\Omega)\times\cdots\times X_n(\Omega)}f(x_1,\ldots,x_n)\\[8pt]\displaystyle\quad\times\mathbb P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n).\end{array}}Pour {n\geq2}, on note {\Lambda_n=\{-1,1\}^n}.

Pour {n,p\geq1}, {\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} désigne l’ensemble des matrices réelles de taille {n\times p}. Si {n=p}, on écrit {\mathcal M_n(\mathbb R)} et l’on note {I_n} la matrice identité.

Problématique et objectifs

On étudie un modèle de ferromagnétisme : les particules d’un matériau sont orientées vers le Nord {(+1)} ou le Sud {(-1)}. Un champ magnétique extérieur agit sur elles ; la température les agite, tandis qu’une interaction locale tend à les aligner.

Dans tout le sujet, {n\geq2} et {\beta\gt0} représente l’inverse de la température. La matrice d’interaction {J_n=(J_n(i,j))} est réelle symétrique ; {J_n(i,j)} mesure l’interaction entre les particules {i} et {j}.

Pour {x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Lambda_n} et {h\in\mathbb R_+}, on définit l’énergie

{H_n(h,x)=-\frac\beta2\sum_{1\leq i,j\leq n}J_n(i,j)x_ix_j-h\sum_{i=1}^nx_i.}Le réel {h} mesure l’intensité du champ extérieur. Le premier terme correspond à l’interaction locale.

Pour {h} fixé, on définit un {n}-uplet {(X_{n,1},\ldots,X_{n,n})} par la loi

{\mathbb P(X_{n,1}=x_1,\ldots,X_{n,n}=x_n)=\frac{e^{-H_n(h,x)}}{Z_n(h)},}où

{Z_n(h)=\sum_{y\in\Lambda_n}e^{-H_n(h,y)}.}On introduit

{\begin{array}{rl}\displaystyle M_{n,h}&=\displaystyle\frac1n\sum_{i=1}^nX_{n,i},\quad m_n(h)=\mathbb E(M_{n,h}),\\[8pt]\psi_n(h)&\displaystyle=\frac1n\ln Z_n(h)\end{array}}Sous réserve d’existence, on note {m} et {\psi} les limites simples de ces fonctions : {m} est la magnétisation et {\psi} la pression.

Les parties A et B sont indépendantes. La partie A étudie le spectre de plusieurs matrices d’interaction ; ses cinq sous-parties sont indépendantes, sauf V qui utilise IV.

La partie B étudie la convergence de la magnétisation. Après une question préliminaire, le modèle d’Ising conduit à l’absence d’aimantation lorsque le champ est retiré.

Les sous-parties III et IV, indépendantes de II, étudient le modèle de Curie-Weiss, sa transition selon la position de {\beta} par rapport à {1}, puis son comportement au point critique {\beta=1}, sans champ extérieur.

Partie A — Étude du spectre de la matrice d’interaction

On fixe {h\in\mathbb R_+}.

I — Quelques inégalités générales

L’étude du spectre complet de {J_n} présente un intérêt physique. On s’intéresse maintenant à quelques cas particuliers.

II — Le modèle de Curie-Weiss

On note {J_n^{(C)}} la matrice dont tous les coefficients valent {1/n}, sauf les coefficients diagonaux, qui sont nuls. Chaque particule interagit de la même façon avec toutes les autres.

III — Le modèle sinus

On définit {J_n^{(S)}} par

{J_n^{(S)}(i,j)\!=\!\frac2{\sqrt{2n+1}}\sin\left(\!\frac{2\pi ij}{2n+1}\!\right),\; 1\leq i,j\leq n}

IV — Le modèle d’Ising unidimensionnel

Pour {1\leq k\leq n}, on définit {C_{n,k}} par

{C_{n,k}(i,j)=\begin{cases}1&\text{si }1\leq i\leq k,\ j=i+n-k,\\[8pt]1&\text{si }k+1\leq i\leq n,\ j=i-k,\\[8pt]0&\text{sinon.}\end{cases}}On remarque que {C_{n,n}=I_n} et l’on pose {J_n^{(1)}=C_{n,1}+C_{n,n-1}}.

Q 8. Vérifier que, pour {n=9}, {J_n^{(1)}} est la matrice d’adjacence du graphe ci-dessous : son coefficient {(i,j)} vaut {1} si les sommets {i} et {j} sont reliés, et {0} sinon. Chaque particule n’interagit qu’avec ses deux plus proches voisins.

V — Le modèle d’Ising bidimensionnel

Soient {u,v,r,s\geq1}, {A=(a_{ij})\in\mathcal M_{u,v}(\mathbb R)} et {B\in\mathcal M_{r,s}(\mathbb R)}. Le produit de Kronecker {A\otimes B\in\mathcal M_{ur,vs}(\mathbb R)} est défini par blocs : son bloc {(i,j)} est {a_{ij}B}.

{A\otimes B=\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots&a_{1v}B\\[8pt]\vdots&\ddots&\vdots\\[8pt]a_{u1}B&\cdots&a_{uv}B\end{pmatrix}.}On se donne aussi deux entiers {w,t\geq1}.

On pose {N=n^2} et

{J_N^{(2)}=I_n\otimes J_n^{(1)}+J_n^{(1)}\otimes I_n\in\mathcal M_N(\mathbb R).}

Q 16. Vérifier que, pour {n=3}, {J_N^{(2)}} est la matrice d’adjacence du graphe ci-dessous. Les arêtes comptent qu’elles soient en pointillés ou en trait plein.

Partie B — Étude de la convergence de la magnétisation

Cette partie reprend les notations précédentes, mais ses résultats en sont indépendants. On se donne {h\in\mathbb R_+}.

I — Magnétisation spontanée

On admet que, lorsque {\psi} est dérivable sur {\mathbb R_+^*}, on a {\psi'=m} sur cet intervalle.

Sous réserve d’existence, on note {m^+=\lim\limits_{h\to0^+}m(h)} la magnétisation spontanée. Si elle est strictement positive, les particules conservent une aimantation après retrait du champ extérieur ; si elle est nulle, ce n’est pas le cas.

II — Le modèle d’Ising

Dans cette sous-partie, {J_n=J_n^{(1)}}. Pour {x\in\Lambda_n}, on adopte les conventions {x_{n+1}=x_1} et {x_0=x_n}.

On pose

{A=\begin{pmatrix}e^{\beta-h}&e^{-\beta-h}\\[8pt]e^{-\beta+h}&e^{\beta+h}\end{pmatrix}.}

III — Le modèle de Curie-Weiss

Dans cette sous-partie, {J_n=J_n^{(C)}}.

On pose

{G_h(x)=\frac{(x-h)^2}{2\beta}-\ln(2\operatorname{ch}x).}

On suppose désormais que {h\gt0}.

IV — Convergence en loi pour la loi de Curie-Weiss au point critique

On suppose toujours {J_n=J_n^{(C)}}, et désormais {\beta=1}, {h=0}. On écrit {M_n=M_{n,0}}.

On note

{Z_\infty=\int_{\mathbb R}e^{-x^4/12}\,dx,\quad \varphi_\infty(x)=\frac1{Z_\infty}e^{-x^4/12}.}

Une démonstration analogue à celle de la sous-partie précédente permet de montrer que, pour toute fonction {f} continue et bornée sur {\mathbb R},

{E_{n,f}\longrightarrow\int_{\mathbb R}f(u)\varphi_\infty(u)\,du.}

On se donne {x\in\mathbb R}, {\varepsilon\gt0} et un entier {k\geq1} tel que {k\geq2/(\varepsilon Z_\infty)}. On définit

{f_k(u)=\begin{cases}1&u\leq x,\\[8pt]1-k(u-x)&x\lt u\leq x+1/k,\\[8pt]0&u\gt x+1/k.\end{cases}}