2024-X-Ens-Psi-Corrigé

X–ENS 2024 — PSI — Mathématiques

Notations

On note {\llbracket m;n\rrbracket} l’ensemble des entiers compris entre {m} et {n}, et {n!} la factorielle, avec {0!=1}.

Pour {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, {\mathcal M_{n,m}(\mathbb K)} désigne l’espace des matrices à {n} lignes et {m} colonnes. Le coefficient de ligne {i} et de colonne {j} de {A} est noté {[A]_{i,j}}. On note {{}^tA} sa transposée et {\overline A} sa conjuguée, définie par {[\overline A]_{i,j}=\overline{[A]_{i,j}}}.

On pose {\mathcal M_n(\mathbb K)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb K)}. On note {I_n} la matrice identité, {0_n} la matrice nulle, {\det A} le déterminant, et l’on convient que {A^0=I_n}. Une matrice de taille {1} est identifiée à son coefficient.

On note {\mathbb K[X]} l’espace des polynômes à coefficients dans {\mathbb K}, et {\mathbb K_n[X]} ceux de degré au plus {n}. La dérivée {k}-ième de {P} est notée {P^{(k)}}, avec {P^{(0)}=P}. Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}.

Dans tout le sujet, {n\geq2}. Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, on note {\operatorname{Spec}(A)} son spectre complexe et {\varrho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{Spec}(A)\}.}On pose {\mathcal V(A)=\{P\in\mathbb C[X]:P\ne0,\ P(A)=0_n\}.}Pour une suite complexe {u=(u_k)_{k\geq0}}, on note {R_u} le rayon de convergence de {\sum u_kz^k} et {\begin{array}{l}D_u=\{z\in\mathbb C:|z|\lt R_u\},\\[8pt]U(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_kz^k\quad(z\in D_u).\end{array}}On définit les suites dérivées par {\begin{array}{l}u^{(0)}=u,\quad u_k^{(1)}=(k+1)u_{k+1},\\[8pt]u^{(m+1)}=(u^{(m)})^{(1)},\\[8pt]U^{(m)}(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_k^{(m)}z^k\quad(z\in D_{u^{(m)}}).\end{array}}Pour une autre suite {v}, on définit {u+v} terme à terme et le produit de convolution {u\star v} par {(u\star v)_k=\sum_{i=0}^ku_iv_{k-i}.}Une matrice {A} est compatible avec {u} lorsque {\varrho(A)\lt R_u}. On note {\mathbb M_n(u)=\{A\in\mathcal M_n(\mathbb C):\varrho(A)\lt R_u\}.}Les parties III et IV sont majoritairement indépendantes.

Partie I — Préliminaires

Soit {u=(u_k)_{k\geq0}} une suite complexe.

Partie II — Fonctions de matrices

On suppose {\mathbb M_n(u)\ne\varnothing} et l’on fixe {A\in\mathbb M_n(u)}.

On note {\lambda_1,\ldots,\lambda_\ell} les valeurs propres distinctes de {A} et {m_i\geq1} leurs multiplicités comme racines de {\phi_A}. Ainsi {\begin{array}{l}\phi_A(X)=\displaystyle\prod_{i=1}^\ell(X-\lambda_i)^{m_i},\\[8pt]m=\displaystyle\sum_{i=1}^\ell m_i.\end{array}}

Dans toute la suite, on pose {u(A)=Q(A)}, avec le polynôme {Q} de Q13.

Pour la question suivante, soit {B\in\mathbb M_n(u)}.

Partie III — Cas de matrices diagonalisables

On suppose {A\in\mathbb M_n(u)} diagonalisable dans {\mathcal M_n(\mathbb C)}. Ses valeurs propres distinctes sont {\lambda_1,\ldots,\lambda_\ell}.

Pour {k\in\llbracket1;\ell\rrbracket}, on définit le polynôme, dépendant de {A}, {Q_k^A(X)=\prod_{1\leq j\leq\ell,\,j\ne k}\frac{X-\lambda_j}{\lambda_k-\lambda_j}.}

Soient {D} diagonale et {S} inversible telles que {A=SDS^{-1}}.

Partie IV — Application à des cas particuliers

On suppose désormais {n\geq4} et {R_u>1}, condition notée {(C^\star)}.

Pour la question 23, on considère {H=\left(\begin{array}{ccccc}0&1&0&\cdots&0\\[8pt]0&0&1&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]\vdots&&\ddots&\ddots&1\\[8pt]0&\cdots&\cdots&0&0\end{array}\right).}

Pour la question 24, on pose {G=Y{}^tZ}, où {Y,Z\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} vérifient {{}^tYY={}^tZZ=1}.

Pour la question 25, on pose {\omega=e^{-2\pi i/n}}, où {i^2=-1}, et l’on définit {\begin{array}{l}\displaystyle [F]_{k,j}\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac1{\sqrt n}\omega^{(k-1)(j-1)}\quad(1\leq k,j\leq n).\end{array}}

Pour la question 26, on suppose {u_k=\mathbb P(X=k)} pour tout {k\in\mathbb N}, où {X} est à valeurs dans {\mathbb N}.