2024-X-Ens-MpB-corrigé

École polytechnique 2024 — Mathématiques B — MP, MPI

Le sujet comporte quatre parties. La première est indépendante des trois autres.
Notations
On utilise les notations usuelles {\mathbb N}, {\mathbb N^*}, {\mathbb Z}, {\mathbb R}, {\mathbb C} et {\mathbb C^*=\mathbb C\setminus\{0\}}.
Si {E} est un espace vectoriel réel et {v_1,\ldots,v_k\in E}, on note {\operatorname{Vect}(v_1,\ldots,v_k)} le sous-espace qu’ils engendrent. Pour {E} de dimension finie, {\mathcal C^k(\mathbb R,E)} désigne l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^k} de {\mathbb R} dans {E}.
Soit {(E,\|\cdot\|)} un espace vectoriel normé réel de dimension finie. Si {U} est un ouvert de {E} et {f:U\to E} est différentiable, on note {df(x)} sa différentielle en {x}, qui est un endomorphisme réel de {E}.
La norme d’opérateur d’un endomorphisme {g} est :
{\|g\|=\sup\{\|g(v)\|:v\in E,\ \|v\|\leq1\}.}Pour {a\in E} et {r>0}, {B(a,r)} désigne la boule ouverte et {\overline B(a,r)} la boule fermée. L’identité de {E} est notée {\operatorname{Id}_E}.
On note {\mathcal M_{p,q}(\mathbb C)} l’espace des matrices complexes à {p} lignes et {q} colonnes, {\mathcal M_p(\mathbb C)} celui des matrices carrées et {GL_p(\mathbb C)} le groupe des matrices inversibles.
On identifie {\mathbb C^p} à l’espace des vecteurs colonnes {\mathcal M_{p,1}(\mathbb C)}. Pour une matrice carrée {A}, son exponentielle est notée {\exp(A)} ou {e^A}.

Première partie

Soit {q:\mathbb R\to\mathbb R} continue et périodique de période {T>0}. On considère :
{y''+qy=0.\qquad(1)}

4. Soient {\mu_1,\mu_2} les racines complexes de :
{x^2-(y_1(T)+y'_2(T))x+1=0.}

Deuxième partie

Soient {a\in E}, {U} un ouvert de {E} contenant {a}, et {f:U\to E} de classe {\mathcal C^1} telle que {df(a)=\operatorname{Id}_E}.

On fixe désormais un réel {r>0} vérifiant les conditions de la question 5b ; sa valeur sera utilisée dans toute la suite de cette partie.

6. Soit {y_0\in E} tel que {\|y_0-f(a)\|\leq r/4}.

7. On note :
{\begin{array}{l}W=\{y\in E:\|y-f(a)\|\lt r/4\},\\[4pt]V=f^{-1}(W)\cap B(a,r).\end{array}}

Troisième partie

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}. On note {\mathbb C[A]} l’ensemble des matrices {P(A)}, où {P\in\mathbb C[X]}, et :
{(\mathbb C[A])^*=\left\{B\in\mathbb C[A]:\begin{array}{l}B\in GL_n(\mathbb C),\\[4pt]B^{-1}\in\mathbb C[A]\end{array}\right\}.}

10. Pour {a\in\mathbb R}, on définit :
{Z_a:[0,1]\to\mathbb C,\qquad Z_a(t)=t+iat(1-t).}
13. On veut montrer que {\exp(\mathbb C[A])=(\mathbb C[A])^*}. On suppose le contraire et on fixe {M_1,M_2\in(\mathbb C[A])^*} tels que {M_1\in\exp(\mathbb C[A])} et {M_2\notin\exp(\mathbb C[A])}.

Quatrième partie

Soient {T>0}, {n\geq1} et {A:\mathbb R\to\mathcal M_n(\mathbb C)} une application continue et {T}-périodique. On considère le système :
{X'(t)=A(t)X(t),\qquad(2)}où {X\in\mathcal C^1(\mathbb R,\mathbb C^n)}.

Soit {\mathcal S} l’espace complexe des solutions de (2), et soit {(Y_1,\ldots,Y_n)} une base de {\mathcal S}. Pour chaque {t\in\mathbb R}, on note {M(t)} la matrice dont les colonnes sont {Y_1(t),\ldots,Y_n(t)}.

On admet qu’il existe {D,N\in\mathcal M_n(\mathbb C)} telles que {D} est diagonalisable, {N} est nilpotente, et :
{B=D+N,\qquad DN=ND.}Il existe donc {P\in GL_n(\mathbb C)} et une matrice diagonale {\Delta} telles que {D=P\Delta P^{-1}}.