2024-Mines-PcPsi1-corrigé

Mines-Ponts — PC–PSI — 2024 — Mathématiques I

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Notations et résultats admis

On pose {\varphi(x)=(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}}. Les fonctions de {\mathcal C^k(\mathbb R)} sont ici à valeurs réelles.
Une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} est à croissance lente s’il existe {C>0} et {k\in\mathbb N} tels que {|f(x)|\leq C(1+|x|^k)\quad\text{pour tout }x\in\mathbb R.}On note {CL(\mathbb R)} leur ensemble, et {L^1(\varphi)} l’ensemble des fonctions continues {f} telles que {f\varphi} soit intégrable sur {\mathbb R}.
Pour {t\geq0}, on définit, lorsque cela a un sens, {P_t(f)(x)=\int_{\mathbb R}f\left(e^{-t}x+\sqrt{1-e^{-2t}}\,y\right)\varphi(y)\,dy.}Pour {f} deux fois dérivable, {L(f)(x)=f''(x)-xf'(x)}.
Une fonction polynomiale en {|x|} est de la forme {\sum\limits_{j=0}^d a_j|x|^j}. On admet la caractérisation séquentielle de la limite à {+\infty}.

Partie 1 — Résultats préliminaires

On admet désormais que {\int_{\mathbb R}\varphi(t)\,dt=1}.

On admet désormais l’invariance suivante, pour {f\in\mathcal C^0(\mathbb R)\cap CL(\mathbb R)} et {t\geq0} : {\int_{\mathbb R}P_t(f)(x)\varphi(x)\,dx=\int_{\mathbb R}f(x)\varphi(x)\,dx.}

Partie 2 — Dérivée de Pₜ(f)

On distingue la dérivée {\partial_tP_t(f)(x)} en {t}, et les dérivées {P_t(f)'}, {P_t(f)''} en {x}. Dans les calculs, on conserve la notation {z_t(x,y)=e^{-t}x+\sqrt{1-e^{-2t}}\,y}.

Partie 3 — Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Pour {g\in\mathcal C^0(\mathbb R)\cap CL(\mathbb R)} strictement positive avec {\int_{\mathbb R}g\varphi=1}, on définit {\operatorname{Ent}_\varphi(g)=\int_{\mathbb R}g(x)\ln(g(x))\varphi(x)\,dx.}Dans cette partie, {f\in\mathcal C^2(\mathbb R)} est strictement positive, les fonctions {f,f',f''} et {(f')^2/f} sont à croissance lente, et {\int_{\mathbb R}f\varphi=1}.