Mines-Ponts 2024 — Mathématiques 1 — MP
Généralisation d’une intégrale de Dirichlet et application
Le but de ce sujet est de calculer l’intégrale de Dirichlet généralisée :
{\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt,}puis d’utiliser ce calcul pour évaluer une espérance. Le paramètre {p} est un entier naturel, le cas {p=0} étant inclus.
Partie I : Calcul d’une intégrale
Dans tout ce qui suit, {x} est un élément de {]0,1[} fixé.
1. Montrer que, pour tout {\theta\in]-\pi,\pi[}, la fonction :
{f:\ t\in]0,+\infty[\longmapsto\frac{t^{x-1}}{1+te^{i\theta}}\in\mathbb C}est définie et intégrable sur {]0,+\infty[}.
{f:\ t\in]0,+\infty[\longmapsto\frac{t^{x-1}}{1+te^{i\theta}}\in\mathbb C}est définie et intégrable sur {]0,+\infty[}.
Soit {r:]-\pi,\pi[\to\mathbb C} définie par :
{r(\theta)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+te^{i\theta}}\,\mathrm dt.}
2. Montrer que {r} est de classe {\mathcal C^1} sur {]-\pi,\pi[} et que, pour tout {\theta} dans cet intervalle :
{r'(\theta)=-ie^{i\theta}\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{(1+te^{i\theta})^2}\,\mathrm dt.}Indication : pour {\beta\in]0,\pi[}, montrer que, pour {\theta\in[-\beta,\beta]} et {t\geq0} :
{\begin{array}{rl}|1+te^{i\theta}|^2&\geq|1+te^{i\beta}|^2\\[6pt]&=(t+\cos\beta)^2+\sin^2\beta.\end{array}}
{r'(\theta)=-ie^{i\theta}\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{(1+te^{i\theta})^2}\,\mathrm dt.}Indication : pour {\beta\in]0,\pi[}, montrer que, pour {\theta\in[-\beta,\beta]} et {t\geq0} :
{\begin{array}{rl}|1+te^{i\theta}|^2&\geq|1+te^{i\beta}|^2\\[6pt]&=(t+\cos\beta)^2+\sin^2\beta.\end{array}}
Soit {g:]-\pi,\pi[\to\mathbb C} définie par :
{g(\theta)=e^{ix\theta}\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+te^{i\theta}}\,\mathrm dt.}
3. Montrer que {g} est de classe {\mathcal C^1} sur {]-\pi,\pi[} et que :
{g'(\theta)=ie^{ix\theta}\int_0^{+\infty}h'(t)\,\mathrm dt,}où, pour {\theta} fixé :
{h:\ t\in]0,+\infty[\longmapsto\frac{t^x}{1+te^{i\theta}}\in\mathbb C.}Calculer {h(0)} et {\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)}. En déduire que {g} est constante sur {]-\pi,\pi[}.
{g'(\theta)=ie^{ix\theta}\int_0^{+\infty}h'(t)\,\mathrm dt,}où, pour {\theta} fixé :
{h:\ t\in]0,+\infty[\longmapsto\frac{t^x}{1+te^{i\theta}}\in\mathbb C.}Calculer {h(0)} et {\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)}. En déduire que {g} est constante sur {]-\pi,\pi[}.
4. Montrer que, pour tout {\theta\in]0,\pi[} :
{\begin{array}{l}g(\theta)\sin(x\theta)\\[6pt]\quad=\dfrac1{2i}\left(g(-\theta)e^{ix\theta}-g(\theta)e^{-ix\theta}\right)\\[6pt]\quad=\sin\theta\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{t^2+2t\cos\theta+1}\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{l}g(\theta)\sin(x\theta)\\[6pt]\quad=\dfrac1{2i}\left(g(-\theta)e^{ix\theta}-g(\theta)e^{-ix\theta}\right)\\[6pt]\quad=\sin\theta\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{t^2+2t\cos\theta+1}\,\mathrm dt.\end{array}}
5. En déduire que, pour tout {\theta\in]0,\pi[} :
{\begin{array}{l}\displaystyle g(\theta)\sin(\theta x)\\[6pt]\quad=\displaystyle \int_{\operatorname{cotan}\theta}^{+\infty}\frac{(u\sin\theta-\cos\theta)^x}{1+u^2}\,\mathrm du,\end{array}}où {\operatorname{cotan}\theta=\cos\theta/\sin\theta}.
{\begin{array}{l}\displaystyle g(\theta)\sin(\theta x)\\[6pt]\quad=\displaystyle \int_{\operatorname{cotan}\theta}^{+\infty}\frac{(u\sin\theta-\cos\theta)^x}{1+u^2}\,\mathrm du,\end{array}}où {\operatorname{cotan}\theta=\cos\theta/\sin\theta}.
6. Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
{\lim_{\theta\to\pi^-}g(\theta)\sin(x\theta)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm du}{1+u^2}.}
{\lim_{\theta\to\pi^-}g(\theta)\sin(x\theta)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm du}{1+u^2}.}
7. En déduire que :
{\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt=\frac\pi{\sin(\pi x)}.}
{\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt=\frac\pi{\sin(\pi x)}.}
Partie II : Une expression (utile) de la fonction sinus
On rappelle que {x} est un élément de {]0,1[} fixé.
8. Montrer que :
{\begin{array}{l}\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle \int_0^1\left(\frac{t^{x-1}}{1+t}+\frac{t^{-x}}{1+t}\right)\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle \int_0^1\left(\frac{t^{x-1}}{1+t}+\frac{t^{-x}}{1+t}\right)\,\mathrm dt.\end{array}}
9. Montrer que :
{\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+x}.}
{\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+x}.}
10. Établir l’identité :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1-x}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1-x}.\end{array}}
11. En déduire que :
{\frac\pi{\sin(\pi x)}=\frac1x-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^nx}{n^2-x^2}.}
{\frac\pi{\sin(\pi x)}=\frac1x-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^nx}{n^2-x^2}.}
12. En déduire enfin que, pour tout {y\in]0,\pi[} :
{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^ny\sin y}{y^2-n^2\pi^2}=1-\frac{\sin y}{y}.}
{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^ny\sin y}{y^2-n^2\pi^2}=1-\frac{\sin y}{y}.}
Partie III : Calcul d’une intégrale de Dirichlet généralisée
On considère un entier {p\geq0}.
13. Montrer que l’intégrale :
{\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt}converge et que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=(2p+1)\displaystyle\int_0^{+\infty}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt.\end{array}}
{\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt}converge et que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=(2p+1)\displaystyle\int_0^{+\infty}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt.\end{array}}
14. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\pi/2+(n-1)\pi}^{\pi/2+n\pi}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[10pt]\quad=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2p}\frac{2(-1)^nt\sin t}{t^2-n^2\pi^2}\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\pi/2+(n-1)\pi}^{\pi/2+n\pi}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[10pt]\quad=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2p}\frac{2(-1)^nt\sin t}{t^2-n^2\pi^2}\,\mathrm dt.\end{array}}
15. En déduire que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\pi/2}^{+\infty}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2p}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^nt\sin t}{t^2-n^2\pi^2}\right)\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\pi/2}^{+\infty}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2p}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^nt\sin t}{t^2-n^2\pi^2}\right)\,\mathrm dt.\end{array}}
16. En déduire que :
{\begin{array}{l}\displaystyle \int_0^{+\infty}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle \int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2p}\,\mathrm dt.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle \int_0^{+\infty}(\cos t)^{2p}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle \int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2p}\,\mathrm dt.\end{array}}
Dans le cas {p=0}, l’intégrale de gauche est communément appelée « intégrale de Dirichlet ».
17. Montrer que :
{\begin{array}{rl}(\cos t)^{2p}&=\dfrac1{2^{2p}}\binom{2p}{p}\\[6pt]&\quad+\dfrac2{2^{2p}}\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2p}{k}\cos(2(p-k)t).\end{array}}Indication : on pourra développer {((e^{it}+e^{-it})/2)^{2p}}.
{\begin{array}{rl}(\cos t)^{2p}&=\dfrac1{2^{2p}}\binom{2p}{p}\\[6pt]&\quad+\dfrac2{2^{2p}}\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2p}{k}\cos(2(p-k)t).\end{array}}Indication : on pourra développer {((e^{it}+e^{-it})/2)^{2p}}.
18. En déduire que :
{\begin{array}{l}\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle \frac\pi2\frac{(2p+1)!}{2^{2p}(p!)^2}.\end{array}}
{\begin{array}{l}\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^{2p+1}}{t^2}\,\mathrm dt\\[6pt]\quad=\displaystyle \frac\pi2\frac{(2p+1)!}{2^{2p}(p!)^2}.\end{array}}
Partie IV : Calcul de {E(|S_n|)}
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,P)}.
Soient {(X_k)_{k\in\mathbb N^*}} des variables indépendantes, de même loi donnée par :
{P(X_1=-1)=P(X_1=1)=\frac12.}Pour {n\in\mathbb N^*}, on note {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.
19. Déterminer, pour {n\in\mathbb N^*}, {E(S_n)} et {V(S_n)}.
Soient {S} et {T} deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre fini de valeurs réelles. On suppose que {T} et {-T} suivent la même loi.
20. Montrer que :
{E(\cos(S+T))=E(\cos S)E(\cos T).}
{E(\cos(S+T))=E(\cos S)E(\cos T).}
21. En déduire que, pour {n\in\mathbb N^*} et {t\in\mathbb R} :
{E(\cos(tS_n))=(\cos t)^n.}
{E(\cos(tS_n))=(\cos t)^n.}
22. Soient {a,b\in\mathbb R} tels que {a\neq0} et {|b|\leq|a|}. Montrer que :
{|a+b|=|a|+\operatorname{signe}(a)b,}où {\operatorname{signe}(x)=x/|x|} pour {x\neq0}. En déduire que, pour tout {n\in\mathbb N^*} :
{E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|).}
{|a+b|=|a|+\operatorname{signe}(a)b,}où {\operatorname{signe}(x)=x/|x|} pour {x\neq0}. En déduire que, pour tout {n\in\mathbb N^*} :
{E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|).}
23. Montrer que, pour tout {s\in\mathbb R} :
{\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(st)}{t^2}\,\mathrm dt=\frac\pi2|s|.}
{\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(st)}{t^2}\,\mathrm dt=\frac\pi2|s|.}
24. En déduire que, pour tout {n\in\mathbb N^*} :
{E(|S_n|)=\frac2\pi\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^n}{t^2}\,\mathrm dt.}
{E(|S_n|)=\frac2\pi\int_0^{+\infty}\frac{1-(\cos t)^n}{t^2}\,\mathrm dt.}
25. Conclure que, pour tout {n\in\mathbb N^*} :
{\begin{array}{l}E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|)\\[6pt]\qquad=\dfrac{(2n-1)!}{2^{2n-2}((n-1)!)^2}.\end{array}}
{\begin{array}{l}E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|)\\[6pt]\qquad=\dfrac{(2n-1)!}{2^{2n-2}((n-1)!)^2}.\end{array}}
Fin du problème.