2024-Inp-Pc-corrigé

CCINP — PC — 2024

Durée : quatre heures. Calculatrices interdites. Trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Racine cubique d’une matrice

Soit {n\in\mathbb N^*}. Une racine cubique de {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est une matrice {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} telle que {B^3=A}.

Partie I — Étude d’un exemple

On cherche toutes les racines cubiques de {A=\begin{pmatrix}4&-12\\[8pt]-1&5\end{pmatrix}.}

Partie II — Dans un plan euclidien

Dans un plan euclidien orienté {E} muni d’une base orthonormée directe {\mathcal B}, on considère, pour {\theta\in\mathbb R}, {M=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.}

Partie III — Racines cubiques et diagonalisation

On suppose {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} diagonalisable sur {\mathbb R}. Ses valeurs propres distinctes sont {\lambda_1,\ldots,\lambda_d}.

III.1 — Existence d’une racine cubique polynomiale

III.2 — Réduction d’une racine cubique

On suppose de plus {A} inversible et l’on pose {Q(X)=\prod_{k=1}^d(X^3-\lambda_k).}

Exercice 2 — La fonction ln(Γ)

On cherche les fonctions {f:]0,+\infty[\to\mathbb R} satisfaisant les quatre conditions {(C)} :
(i) {f} est de classe {\mathcal C^1} ; (ii) {f(x+1)-f(x)=\ln x} pour tout {x>0} ; (iii) {f'} est croissante ; (iv) {f(1)=0}.

Partie I — Existence de la solution

Pour {n\geq1} et {x>0}, on définit {u_n(x)=x\ln\left(1+\frac1n\right)-\ln\left(1+\frac xn\right).}

Dans la suite, on pose {\varphi(x)=-\ln x+\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x),\quad x>0.}

Partie II — Unicité de la solution

Soit {g} satisfaisant {(C)} ; on pose {h=\varphi-g}. Les questions Q18 et Q19 sont indépendantes.

Partie III — La formule de duplication

Pour {x>0}, on définit {\begin{array}{rcl}\psi(x)&=&(x-1)\ln2+\varphi(x/2)\\[8pt]&&+\varphi((x+1)/2)-\frac12\ln\pi.\end{array}}

Exercice 3 — Temps d’attente avant une collision

Une urne contient {n\geq1} boules numérotées de {1} à {n}. Les tirages se font avec remise. Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes et uniformes sur {\llbracket1,n\rrbracket}.
On note {T_n} le rang de la première répétition : {\begin{array}{l}T_n=\min\{j\in\llbracket2,n+1\rrbracket:\\[8pt]\quad\exists i\in\llbracket1,j-1\rrbracket,\ X_i=X_j\}.\end{array}}Par exemple, pour {n=4}, les résultats successifs {1,3,2,3,4} donnent {T_n=4}. On cherche un équivalent de {\mathbb E(T_n)} quand {n\to+\infty}.

Partie I — Une expression de l’espérance

Pour la suite de cette partie, {k\in\llbracket1,n\rrbracket} et {Z=(X_1,\ldots,X_k)}.

La formule de Q27 reste valable pour {k=0}.

Partie II — Une expression intégrale de l’espérance

Pour {k\in\mathbb N}, on considère {I_k=\int_0^{+\infty}t^ke^{-t}\,dt}.

Partie III — Un équivalent de l’espérance

Dans cette partie, les notations {I_n} et {J_n} désignent désormais {\begin{array}{rcl}I_n&=&\displaystyle\int_0^n\left(1+\frac tn\right)^ne^{-t}\,dt,\\[12pt]J_n&=&\displaystyle\int_n^{+\infty}\left(1+\frac tn\right)^ne^{-t}\,dt.\end{array}}Ces intégrales convergent, et {\mathbb E(T_n)=I_n+J_n}.

III.1 — Étude de la suite (Jₙ)

III.2 — Étude de la suite (Iₙ)

Pour {u>0}, on définit {f_n(u)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\left(1+\frac u{\sqrt n}\right)^ne^{-u\sqrt n},&u\lt\sqrt n,\\[8pt]0,&u\geq\sqrt n.\end{array}\right.}

III.3 — Conclusion