EPITA–IPSA–ESME — 2024 — Option Mathématiques
Durée : deux heures. Calculatrice autorisée, documents interdits.
On étudie la transformation de Fourier et son inversion. Pour une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} ou {\mathbb C}, continue par morceaux et intégrable, on définit {\begin{array}{rcl}Tf(t)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2i\pi tu}f(u)\,du,\\[8pt]\overline T f(t)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{2i\pi tu}f(u)\,du\\[8pt]&=&Tf(-t).\end{array}}La notation {\overline T} désigne ici l’opérateur à exponentielle de signe opposé.
1°) Un premier exemple de transformée de Fourier
On pose {f(u)=e^{-\pi u^2}} et {F(t)=Tf(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi u^2}e^{-2i\pi tu}\,du.}
1°) a) Établir que {F} est définie et de classe {\mathcal C^1} sur {\mathbb R}, et préciser {F'(t)}.
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1°) b) Établir {F'(t)=-2\pi tF(t)} pour tout réel {t}.
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1°) c) En déduire {F}, en admettant {\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi u^2}\,du=1}.
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2°) Un second exemple de transformée de Fourier
Pour {n\in\mathbb N^*}, on pose {g_n(u)=\exp(-2\pi|u|/n)}.
2°) a) Pour {a\in\mathbb C} avec {\operatorname{Re}(a)>0}, étudier l’existence et la valeur de {\int_0^{+\infty}e^{-au}\,du}.
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2°) b) Déterminer {Tg_n}, vérifier qu’elle est à valeurs positives et préciser, pour {\alpha>0}, {\lim\limits_{n\to+\infty}\sup_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)}.
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2°) c) On note {\int_{|t|\geq\alpha}} la somme des intégrales sur {]-\infty,-\alpha]} et {[\alpha,+\infty[}. Vérifier que {\int_{-\infty}^{+\infty}Tg_n(t)\,dt=1} et calculer {\lim\limits_{n\to+\infty}\int_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)\,dt} pour {\alpha>0}.
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3°) Premières propriétés de la transformation de Fourier
On suppose {f} continue par morceaux et intégrable sur {\mathbb R}, et {g} continue, bornée et intégrable sur {\mathbb R}.
On note {\|f\|_1=\int_{\mathbb R}|f(t)|\,dt} et {\|g\|_\infty=\sup_{x\in\mathbb R}|g(x)|}.
3°) a) Établir que {Tf} est définie et continue sur {\mathbb R}, et bornée par {\|f\|_1}.
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3°) b) Justifier, pour tout réel {x}, l’existence des intégrales {\begin{array}{rcl}A(x)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^x Tf(t)g(t)\,dt,\\[8pt]B(x)&=&\displaystyle\int_{\mathbb R}f(t)\left(\int_{-\infty}^x e^{-2i\pi tu}g(u)\,du\right)dt.\end{array}}
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3°) c) Justifier la dérivabilité de {A} et {B} et expliciter leurs dérivées.
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3°) d) Déterminer les limites de {A(x)} et {B(x)} lorsque {x\to-\infty}, puis lorsque {x\to+\infty}.
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3°) e) En déduire {A(x)=B(x)} pour tout {x}, puis {\int_{\mathbb R}Tf(t)g(t)\,dt=\int_{\mathbb R}f(t)Tg(t)\,dt.}
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4°) Inversion de la transformation de Fourier
On suppose {f} continue par morceaux et intégrable sur {\mathbb R}, et {Tf} également intégrable.
4°) a) Pour {x\in\mathbb R} et {n\geq1}, poser {g(u)=e^{2i\pi xu}g_n(u)} et utiliser 3°) e) pour établir {\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\mathbb R}Tf(t)e^{2i\pi xt}g_n(t)\,dt\\[8pt]\quad=\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x+t)Tg_n(t)\,dt.\end{array}}En déduire que ce membre vaut {f(x)+\int_{\mathbb R}(f(x+t)-f(x))Tg_n(t)\,dt.}
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4°) b) Déterminer la limite de {\int_{\mathbb R}Tf(t)e^{2i\pi xt}g_n(t)\,dt} en fonction de {\overline T(Tf)(x)}.
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On suppose désormais que {x} est un point de continuité de {f}. Pour {\varepsilon>0}, on choisit {\alpha>0} tel que {|t|\leq\alpha} implique {|f(x+t)-f(x)|\leq\varepsilon}.
4°) c) En découpant l’intégrale, établir {\begin{array}{l}\displaystyle\left|\int_{\mathbb R}(f(x+t)-f(x))Tg_n(t)\,dt\right|\\[8pt]\quad\leq\varepsilon+\left(\displaystyle\sup_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)\right)\|f\|_1\\[8pt]\quad\quad+|f(x)|\displaystyle\int_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)\,dt.\end{array}}En déduire la limite de l’intégrale lorsque {n\to+\infty}.
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4°) d) En déduire qu’en tout point de continuité {x} de {f}, {\overline T(Tf)(x)=f(x)}.
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5°) Application à d’autres transformées de Fourier
5°) a) Préciser la transformée de Fourier de {G_1:u\mapsto1/(1+u^2)}.
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5°) b) Soit {a\in\mathbb C} de partie réelle strictement positive. Pour {n\in\mathbb N}, on définit {h_n(u)=u^ne^{-au}/n!} si {u\geq0}, et {h_n(u)=0} si {u\lt0}. Déterminer {Th_0}, puis {Th_n}.
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5°) c) Quelle est la transformée de Fourier de {H_n:u\mapsto(a+2i\pi u)^{-n-1}} pour {n\geq1} ? Que peut-on dire du cas {n=0} ?
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