2024-E3A-Psi-Corrigé

E3A — PSI — 2024

Calculatrice interdite. Quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Soit {n\ge1}. Les variables {Y,Z}, définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,P)}, sont indépendantes et suivent la loi binomiale {\mathcal B(n,1/2)}.

Pour {\omega\in\Omega}, on pose

{A(\omega)=\begin{pmatrix}Y(\omega)&0\\[8pt]2&Z(\omega)\end{pmatrix}.}1. Calcul d’une somme

Exercice 2

On note {E=C^0([0,1],\mathbb R)}. Pour {x,t\in[0,1]}, {\min(x,t)=x} si {x\le t}, et {\min(x,t)=t} sinon.

Questions préliminaires

3. Cas particuliers

4. Soit {f\in E} et {F(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt}.

À {f\in E}, on associe la fonction {T(f)} définie par

{T(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt.}

7. On pose {\mathcal A=\{G\in C^2([0,1],\mathbb R):G(0)=G'(1)=0\}}.

8. Recherche des éléments propres de {T}

Exercice 3

Soit {n\ge3}. On identifie les colonnes de {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} à {\mathbb R^n}. La transposée est notée {A^\top} et le produit scalaire canonique est {(X_1\mid X_2)=X_1^\top X_2}, avec {\|X_1\|^2=X_1^\top X_1}.

Soient {X=(x_i)} et {Y=(y_i)} deux vecteurs linéairement indépendants. Pour {\alpha,\beta\in\mathbb R}, on définit {M=(m_{ij})} par

{m_{ij}=\delta_{ij}+\alpha x_ix_j+\beta y_iy_j,}où {\delta_{ij}=1} si {i=j} et {0} sinon. On note {f} l’endomorphisme de matrice {M} dans la base canonique.

2. On note {U_X=XX^\top}.

4. On revient au cas général {M=I_n+\alpha U_X+\beta U_Y}, quels que soient {\alpha,\beta}.

4.1. On pose {F=\operatorname{Vect}(X,Y)}.

4.3. On pose

{G=\begin{pmatrix}1+\alpha\|X\|^2&\alpha(X\mid Y)\\[8pt]\beta(X\mid Y)&1+\beta\|Y\|^2\end{pmatrix}.}

Exercice 4

1. Pour {n\ge2}, on pose, sous réserve d’existence,

{\gamma_n=\int_0^1\frac{1-t^{1/n}}{(1-t)^{1+1/n}}\,dt.}1.1. Soit {\alpha\gt0}.

2. Démonstration d’un encadrement

2.2. On pose {U_m(u)=\sum\limits_{k=0}^mu^k/k!}. Pour un entier {p\ge1} fixé, on suppose que, pour tout {u\le0},

{U_{2p-1}(u)\le e^u\le U_{2p}(u).}