E3A — PC — 2024
Les calculatrices sont interdites. Le sujet comporte quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Soit {n\geq1}. On pose {E=\mathbb R_{2n}[X]}, {e_k=X^k} pour {0\leq k\leq2n} et {\mathcal B=(e_0,\ldots,e_{2n})}.
On munit {E} du produit scalaire {(P\mid Q)=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,dt} et l’on définit {L} par {L(P)=\int_{-1}^{1}P(t)\,dt.}
1. Montrer que {L} est une forme linéaire sur {E}.
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2. Déterminer {L(e_k)} pour tout {k\in\llbracket0,2n\rrbracket}.
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3. Déterminer la dimension de {\ker L}.
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4. Prouver qu’il existe une base {\mathcal U} de {\ker L}, que l’on ne cherchera pas à expliciter, dont le premier vecteur est {e_1}.
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5. Montrer que i) {\operatorname{Vect}(e_0)} et {\ker L} sont orthogonaux ; ii) {E=\operatorname{Vect}(e_0)\oplus\ker L}.
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Soit {\lambda\in\mathbb R}. Pour {P\in E}, on pose {T_\lambda(P)=P+\lambda L(P)X.}
6.1. Vérifier que {T_\lambda} est un endomorphisme de {E}.
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6.2. Soit {P\in E}. Calculer {(L\circ T_\lambda)(P)}.
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6.3. Déterminer la matrice de {T_\lambda} dans une base adaptée à la décomposition obtenue aux questions 4 et 5.
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6.4. Déterminer les valeurs propres de {T_\lambda}.
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6.5. L’endomorphisme {T_\lambda} est-il diagonalisable ?
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6.6. Justifier que {T_\lambda} est un automorphisme de {E}.
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6.7. Pour tous réels {\alpha,\beta}, préciser {T_\alpha\circ T_\beta}.
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6.8. Déterminer {T_\lambda^{-1}}.
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Exercice 2
La variable aléatoire {X}, définie sur {(\Omega,\mathcal P(\Omega),\mathbb P)}, suit la loi de Poisson de paramètre {\lambda>0}.
1. Questions de cours
1.1. Rappeler sans démonstration la loi de {X}, son espérance et sa variance.
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1.2. Écrire les développements en séries entières de {\operatorname{sh}} et {\operatorname{ch}}, ainsi que leurs domaines de validité.
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1.3. Soient {X_1,X_2} deux variables aléatoires discrètes sur {\Omega}. Rappeler la définition de leur indépendance.
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2. Parité de X
On définit {Y=0} si {X} est paire, et {Y=1} si {X} est impaire.
2.1. Exprimer {\{Y=0\}} et {\{Y=1\}} à l’aide des événements {\{X=j\}}, {j\in\mathbb N}.
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2.2. En déduire la loi de {Y} et son espérance, en utilisant les fonctions {\exp}, {\operatorname{sh}} et {\operatorname{ch}}.
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3. Produit de variables aléatoires
La variable {Z}, indépendante de {X}, est uniforme sur {\{1,2\}}. On pose {T=XZ}.
3.1. Préciser {T(\Omega)}.
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3.2. Pour {k\in\mathbb N}, utiliser le système complet {(\{Z=1\},\{Z=2\})} pour exprimer {\mathbb P(T=k)} à l’aide des lois de {X} et de {2X}.
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3.3. Déterminer la loi de {T}.
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3.4. Quelle est la probabilité que {T} soit paire ? Utiliser les fonctions {\exp}, {\operatorname{sh}} et {\operatorname{ch}}.
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Exercice 3
Question de cours
1. Soit {x\geq0}. Comparer {x} et {x^2}.
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Soit {\alpha\in]0,1[}. On étudie la série de terme général {a_n=\sin(n^\alpha)/n}, pour {n\geq1}.
2. Pour {t\geq1}, on pose {\varphi(t)=\sin(t^\alpha)/t}.
2.1. Justifier la dérivabilité de {t\mapsto\sin(t^\alpha)} sur {[1,+\infty[} et déterminer sa dérivée.
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2.2. Justifier que {\varphi} est dérivable sur {[1,+\infty[} et déterminer sa dérivée.
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2.3. Montrer que {|\varphi'(t)|\leq(1+\alpha t^\alpha)/t^2} pour {t\geq1}.
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2.4. En déduire, pour {n\geq1} et {t\in[n,n+1]}, {|\varphi(t)-\varphi(n)|\leq\left(\frac1{n^2}+\frac\alpha{n^{2-\alpha}}\right)|t-n|.}
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3. On pose {u_n=\int_n^{n+1}\varphi(t)\,dt}. Prouver que {|u_n-a_n|\leq\frac1{n^2}+\frac\alpha{n^{2-\alpha}}.}
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4. Convergence de l’intégrale du sinus cardinal
4.1. Démontrer que {t\mapsto\cos(t)/t^2} est intégrable sur {[1,+\infty[}.
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4.2. Démontrer par intégration par parties que {\int_1^{+\infty}\sin(t)/t\,dt} converge.
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5. Démontrer par changement de variable que {\int_1^{+\infty}\sin(t^\alpha)/t\,dt} converge.
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6. En déduire la convergence de {\sum\limits_{n\geq1}u_n}.
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7. Prouver que {\sum\limits_{n\geq1}(u_n-a_n)} converge absolument.
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8. En déduire que {\sum\limits_{n\geq1}a_n} converge.
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9. On suppose maintenant que {\sum\limits_{n\geq1}|a_n|} converge.
9.1. Montrer que {\sum\limits_{n\geq1}\sin^2(n^\alpha)/n} converge. On pourra utiliser la question de cours.
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9.2. Prouver que {\int_1^{+\infty}\cos(2x)/x\,dx} converge, comme à la question 4.2.
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9.3. On admet, en procédant comme précédemment, que {\sum\limits_{n\geq1}\cos(2n^\alpha)/n} converge. Conclure sur la nature de {\sum\limits_{n\geq1}a_n}. On pourra utiliser {\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta}.
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Exercice 4
On pose {E=\mathbb R[X]}.
1. Soient {P=\sum\limits_{k=0}^p a_kX^k} et {Q=\sum\limits_{k=0}^q b_kX^k}, avec {a_p\ne0} et {b_q\ne0}. Prouver que {\sum\limits_{n\geq0}2^{-n}P(n)Q(n)} converge absolument.
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2. Pour {P,Q\in E}, on pose {(P\mid Q)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^{-n}P(n)Q(n)}.
2.1. Montrer que {(S\mid S)=0} si et seulement si {S} est le polynôme nul.
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2.2. Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur {E}.
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3. Quelques calculs de sommes
3.1. Rappeler l’ensemble de définition de {f:t\mapsto\sum\limits_{n=0}^{+\infty}t^n} et sa somme.
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3.2. Justifier que {\sum\limits_{n\geq0}e^{-nx}} converge pour {x>0}.
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3.3. Exprimer {g:x\mapsto\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}} à l’aide de {f}, puis en déduire que {g} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R_+^*}.
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3.4. Exprimer à l’aide des fonctions usuelles {g(x)}, {g'(x)} et {g''(x)} pour {x>0}.
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3.5. Pour {\alpha\in\mathbb N}, on pose {S_\alpha=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}n^\alpha2^{-n}}. Calculer {S_0,S_1,S_2}, en utilisant les questions précédentes avec une valeur de {x} bien choisie.
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On admet {S_3=26} et {S_4=150}.
4. Distance à un sous-espace
On cherche la distance de {X^2} à {\mathbb R_1[X]} pour le produit scalaire de la question 2.
4.1. Déterminer {a,b\in\mathbb R} tels que {X^2-aX-b} soit orthogonal à {1} et à {X}.
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4.2. Prouver que l’ensemble {\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}2^{-n}(n^2-cn-d)^2\\[8pt]\quad\text{pour }(c,d)\in\mathbb R^2\end{array}\right\}}possède un minimum.
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4.3. En déduire la distance recherchée.
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