2024-E3A-Mp1-Corrigé

E3A 2024 — MP — Mathématiques

Exercice 1

Pour {x\in\mathbb R}, la partie entière {\lfloor x\rfloor} est l’unique entier {k} tel que {k\le x\lt k+1}.

Soit {X} une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[} sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, à valeurs dans {\mathbb N^*}.

On cherche la loi de {Y=\left\lfloor\frac{X+1}2\right\rfloor.}

Exercice 2

On considère la série entière {\sum\limits_{n\ge1}a_nx^n}, où {a_n=\cos n/n}. Son rayon de convergence est noté {R}.

Pour {x\in]-1,1[}, on note {f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^n/n}.

Exercice 3

Soient {n\ge1} et {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} vérifiant {A^T=3A^2-A-I_n.}

10. Polynômes de Lagrange

On note {\alpha_1=1}, {\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4} les quatre racines de {P}. L’énoncé introduit la famille {\mathcal L=(L_1,L_2,L_3,L_4)} des polynômes de Lagrange de degré au plus {3}, avec {L_i(\alpha_j)=\delta_{i,j}}.

Rectification de l’énoncé. Le tableau du PDF inverse les valeurs du symbole de Kronecker. Pour les polynômes de Lagrange annoncés, il faut lire {\delta_{i,j}=1} si {i=j} et {0} sinon. C’est cette convention usuelle, cohérente avec la suite, qui est utilisée ci-dessous.

On peut ordonner les trois autres racines en posant {\alpha_2=-1/3}, {\alpha_3=1/\sqrt3} et {\alpha_4=-1/\sqrt3}.

11. Étude des puissances de A

11.1. Soit {k\ge1}.

Exercice 4

Questions préliminaires

Soient {E} l’espace des fonctions réelles continues par morceaux et bornées sur {\mathbb R}, et {F} celui des fonctions réelles continues par morceaux et intégrables sur {\mathbb R}.

L’énoncé utilise les notations {\|g\|_1=\int_{-\infty}^{+\infty}|g(t)|\,dt,\quad\|f\|_\infty=\sup_{t\in\mathbb R}|f(t)|.} On fixe {g\in F} et {f\in E}.

Précision sur la norme intégrale. Pour des fonctions définies point par point, {\|\cdot\|_1} est seulement une semi-norme : une fonction nulle sauf en un point a une intégrale nulle. Elle devient une norme après identification des fonctions égales presque partout.

Cela ne modifie aucune des intégrales ni des estimations demandées ; la norme uniforme sur {E} est bien une norme.

5. On pose {f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x\in[-1/2,1/2],\\[8pt]0&\text{sinon}.\end{array}\right.}

6. Étude de f₁ ⋆ g

7. Étude de {f_1\star f_1}

8. Pour {\alpha>0}, on définit {h_\alpha(x)=\frac1\alpha f_1(x/\alpha).}

9. Étude d’une norme subordonnée