2024-Cnm-Mp1-corrigé

Concours national commun 2024 — Mathématiques 1 — MP

Durée : 4 heures. L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.
Le sujet est composé d’un exercice et d’un problème indépendants.

Exercice — 4 points sur 20

On pose
{I_0=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-3x}\,\mathrm dx,}et, pour tout entier naturel non nul {n},
{I_n=\int_0^{+\infty}x^n\mathrm e^{-3x}\,\mathrm dx.}

5. Soit {X} une variable aléatoire de densité
{f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }x\leq0,\\[8pt]\dfrac94(1+x)\mathrm e^{-3x}&\text{si }x>0.\end{array}\right.}

Problème

Pour tout réel {t>0}, on considère les fonctions définies sur {\mathbb R} par
{f_t(x)=\mathrm e^{-tx^2/2},}{g_t(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }x\leq0,\\[8pt]txf_t(x)&\text{si }x>0.\end{array}\right.}On rappelle que
{\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2/2}\,\mathrm dx=\sqrt{\frac\pi2}.}Dans toute la suite du problème, {t} est un réel strictement positif.

Partie 1 — Étude d’une variable aléatoire

On rappelle qu’une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} continue par morceaux est une densité de probabilité si elle est positive sur {\mathbb R}, si l’ensemble de ses points de discontinuité est fini, si elle est intégrable sur {\mathbb R} et si son intégrale sur {\mathbb R} vaut {1}.

4. Pour tout entier naturel {k}, on considère les événements
{A_k=\{\sqrt{2k}\lt X_t\leq\sqrt{2k+1}\},}{B_k=\{\sqrt{2k+1}\lt X_t\leq\sqrt{2k+2}\}.}

Partie 2 — Calcul d’une intégrale impropre

Pour tout entier {n\geq0} et tout réel {x}, on pose
{S_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-tx)^k}{k!}f_t(x).}On définit le moment d’ordre {n} de la fonction {f_t} par
{m_n=\int_{-\infty}^{+\infty}x^nf_t(x)\,\mathrm dx.}On rappelle que {m_n} dépend de {t}.

Partie 3 — Produit de convolution et une transformée

On note {E} l’ensemble des fonctions continues {h:\mathbb R\to\mathbb R} telles qu’il existe {M\geq0} et {\lambda>0} vérifiant
{\forall x\in\mathbb R,\quad |h(x)|\leq M f_t(\lambda x).}On admet le résultat suivant : si {\Phi:\mathbb R^2\to\mathbb R} est continue et s’il existe deux fonctions continues et intégrables {\Phi_1,\Phi_2} sur {\mathbb R} telles que
{|\Phi(x,y)|\leq\Phi_1(x)\Phi_2(y),}alors les deux intégrales itérées existent et sont égales :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\mathbb R}\left(\int_{\mathbb R}\Phi(x,y)\,\mathrm dx\right)\mathrm dy\\[8pt]\displaystyle\quad=\int_{\mathbb R}\left(\int_{\mathbb R}\Phi(x,y)\,\mathrm dy\right)\mathrm dx.\end{array}}On rappelle que {\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)}, muni des opérations usuelles, est un espace vectoriel réel.

2. Soient {\varphi,\psi\in E}. On définit, pour les réels {x} pour lesquels l’intégrale existe,
{(\varphi*\psi)(x)=\int_{\mathbb R}\varphi(u)\psi(x-u)\,\mathrm du.}

3. Soit {\varphi\in E}. On définit la fonction {\widehat\varphi} par
{\widehat\varphi(x)=\int_{\mathbb R}\mathrm e^{-xu}\varphi(u)\,\mathrm du.}

4. Soient {\varphi,\psi\in E}.

Partie 4 — Une suite de fonctions construite à partir du produit de convolution

On note {E_1} l’ensemble des fonctions {\psi\in E} telles que {\int_{\mathbb R}\psi(x)\,\mathrm dx=1}.
Pour toute fonction {\phi\in E_1}, on considère la suite {(\phi_n)_{n\geq1}} définie par
{\phi_1=\phi,\qquad\phi_n=\phi_{n-1}*\phi_1\quad(n\geq2).}

3. Dans cette question, on prend
{\phi=\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\,f_t,}où {f_t} est la fonction définie au début du problème.

4. Soit {\phi} un élément quelconque de {E_1}. Pour tout entier {n\geq1}, on pose
{M_{n,1}=\int_{\mathbb R}u\phi_n(u)\,\mathrm du,}{M_{n,2}=\int_{\mathbb R}u^2\phi_n(u)\,\mathrm du,\qquad V_n=M_{n,2}-M_{n,1}^2.}