Centrale-Supélec — PSI — 2024 — Mathématiques 2
Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.
Autour de la série harmonique et de la constante d’Euler
Pour {n\ge1}, on pose
{a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n.}Le problème établit la convergence de cette suite et recherche plusieurs expressions intégrales de sa limite.
I — Convergence de la suite {(a_n)}
Q 1. Déterminer un équivalent de {a_{n+1}-a_n}, puis la nature de la série {\sum(a_{n+1}-a_n)}.
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Q 2. Montrer que
{(a_n)} converge vers un réel
{\gamma}, puis que
{\sum_{k=1}^n\frac1k=\ln n+\gamma+o(1).}
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II — Le collectionneur de vignettes
Chaque paquet de céréales contient une figurine choisie de manière équiprobable parmi {n} modèles numérotés de {1} à {n}. Le collectionneur souhaite obtenir les {n} modèles.
On note {\tau_k} le nombre de paquets supplémentaires nécessaires pour passer de {k-1} modèles distincts à {k}, et {N_n=\tau_1+\cdots+\tau_n} le nombre total de paquets nécessaires.
L’événement {C_k^{(i)}} signifie que le {k}-ième paquet contient le modèle {i}.
Précisions de modélisation. Les choix dans les différents paquets sont supposés indépendants, hypothèse nécessaire aux calculs demandés. Pour un nombre total {n} de modèles fixé, les notations {N_1,N_2} des premières questions désignent les temps d’obtention de un et de deux modèles distincts ; on écrit plus généralement {N_k=\tau_1+\cdots+\tau_k}.
Q 3. Déterminer la loi de {N_1}.
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Q 4. Pour {m\ge2}, calculer la probabilité que les {m} premiers achats donnent tous le même modèle. En déduire, pour {m\ge1}, {P(N_2\gt m)=1/n^{m-1}}.
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Q 5. Déterminer la loi de {N_2}.
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Q 6. Justifier que {\tau_k} suit une loi géométrique et préciser son paramètre.
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Q 7. Calculer {E(N_n)} et montrer que {E(N_n)=n(\ln n+\gamma+o(1))}.
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Q 8. Justifier l’indépendance de {\tau_1,\ldots,\tau_n}.
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Q 9. En utilisant {\sum\limits_{j=1}^{+\infty}j^{-2}=\pi^2/6}, montrer que {N_n} admet une variance et que {V(N_n)\le n^2\pi^2/6}.
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Q 10. Pour {\varepsilon\gt0}, montrer que {P(|N_n-E(N_n)|\gt\varepsilon n\ln n)\to0}.
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Q 11. Pour
{\varepsilon\gt0}, montrer que
{P\left(\left|\frac{N_n}{n\ln n}-1\right|\gt\varepsilon\right)\longrightarrow0.}
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III — Une première expression intégrale de {\gamma}
On admet que, pour {a,b\gt0}, l’intégrale suivante converge et vérifie
{\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\,dt=\ln\frac ba.}
Q 12. Montrer que, pour
{t\gt0},
{\frac1t=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{-nt}-e^{-(n+1)t}}t.}
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Q 13. En déduire, pour
{t\gt0},
{\begin{array}{l}\displaystyle e^{-t}\left(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\right)\\[8pt]\quad=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-(n+1)t}\left(1-\frac{1-e^{-t}}t\right).\end{array}}
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Q 14. Montrer la convergence de l’intégrale ci-dessous et établir
{\gamma=\int_0^{+\infty}e^{-t}\left(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\right)\,dt.}
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IV — Une deuxième expression intégrale de {\gamma}
Q 15. Pour {n\ge1}, étudier la continuité en {0} de {t\mapsto(1-(1-t)^n)/t}.
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Q 16. En utilisant
{\int_0^1(1-t)^{k-1}\,dt=1/k}, exprimer la somme harmonique par une intégrale, puis établir
{\begin{array}{rl}a_n&\displaystyle=\int_0^1\frac{1-(1-u/n)^n}u\,du\\[8pt]&\displaystyle\quad-\int_1^n\frac{(1-u/n)^n}u\,du.\end{array}}
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Q 17. Pour {x\in[1,+\infty[} fixé, déterminer la limite de {(1-x/n)^n}, sous forme d’une intégrale comme demandé dans le sujet.
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Q 18. Pour {n\ge1}, on définit sur {[1,+\infty[}{f_n(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1-t/n)^n/t&1\le t\le n,\\[8pt]0&t\gt n.\end{array}\right.}Déterminer la limite simple de {(f_n)}.
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Q 19. Montrer que {\ln(1-t)\le-t} pour {t\in[0,1[}.
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Q 20. Établir la convergence de {\int_1^{+\infty}e^{-u}/u\,du}.
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Q 21. Justifier l’intégrabilité des fonctions {f_n} sur {[1,+\infty[}.
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Q 22. Établir la convergence et déterminer la limite, sous forme intégrale, de
{\int_1^n\frac{(1-u/n)^n}u\,du.}
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Q 23. Établir la convergence de {\int_0^1(1-e^{-u})/u\,du}.
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Q 24. Par l’inégalité des accroissements finis, montrer, pour
{n\ge1} et
{0\lt t\le1},
{0\le\frac{1-(1-t/n)^n}t\le1.}
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Q 25. Établir la convergence et déterminer la limite intégrale de
{\int_0^1\frac{1-(1-u/n)^n}u\,du.}
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Q 26. En déduire
{\gamma=\int_0^1\frac{1-e^{-u}}u\,du-\int_1^{+\infty}\frac{e^{-u}}u\,du.}
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V — Deux autres expressions intégrales de {\gamma}
Sous réserve de convergence, on pose
{\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt.}On note {u(x,t)=t^{x-1}e^{-t}}, pour {x\in\mathbb R} et {t\gt0}.
Q 27. Montrer que {\Gamma} est définie sur {]0,+\infty[}.
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Q 28. Montrer que {\Gamma} est de classe {C^1} sur {]0,+\infty[} et donner une expression de sa dérivée.
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Q 29. Établir {\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)} pour {x\gt0}.
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Q 30. On admet la formule de Weierstrass, pour
{x\gt0},
{\frac1{\Gamma(x)}=xe^{\gamma x}\prod_{n=1}^{+\infty}e^{-x/n}(1+x/n).}À l’aide de la série {\sum\limits_{n\ge1}(x/n-\ln(1+x/n))}, montrer que
{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\\[8pt]\displaystyle \quad=-\frac1x-\gamma+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac1n-\frac1{x+n}\right).\end{array}}
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Q 31. En déduire {\Gamma'(1)=-\gamma}, puis calculer {\Gamma'(2)}.
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Q 32. Par un changement de variable, montrer que {\gamma=-\int_0^1\ln(-\ln t)\,dt}.
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VI — Recherche d’une valeur approchée de {\gamma}
On fixe {A\gt0}.
Q 33. Démontrer que
{\begin{array}{rl}\displaystyle \gamma&\displaystyle=-\ln A+\int_0^A\frac{1-e^{-u}}u\,du\\[12pt]&\displaystyle\quad-\int_A^{+\infty}\frac{e^{-u}}u\,du.\end{array}}
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Q 34. Établir la convergence de {\sum\limits_{k\ge0}(-1)^kA^{k+1}/((k+1)(k+1)!)} et donner sa somme à l’aide d’une intégrale.
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Q 35. Démontrer, pour
{x\gt0},
{\int_x^{+\infty}\frac{e^{-u}}u\,du=\frac{e^{-x}}x-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u^2}\,du.}
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Q 36. Déterminer un polynôme
{R} de degré
{2} tel que, pour
{x\gt0},
{\int_x^{+\infty}\frac{e^{-u}}u\,du=\frac{R(x)e^{-x}}{x^3}-\int_x^{+\infty}\frac{6e^{-u}}{u^4}\,du.}
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Q 37. Soit
{n\gt A+1}. Le sujet demande de justifier la majoration
{\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\displaystyle\gamma-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kA^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\[16pt]\displaystyle\quad-\frac{R(A)e^{-A}}{A^3}+\ln A\end{array}\right|\\[16pt]\quad\le\displaystyle\frac{A^{n+1}}{(n+1)(n+1)!}+\frac{6e^{-A}}{A^4}.\end{array}}
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VII — Une série entière aux bornes de son intervalle de convergence
On étudie la somme {f} de la série {\sum\limits_{n\ge1}\ln(n)x^n}.
VII.A — Rayon et domaine de définition
Q 38. Déterminer le rayon de convergence de cette série, puis le domaine de définition de {f}.
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VII.B — Étude en {1}
Q 39. Déterminer la limite de {f(x)} lorsque {x\to1^-}.
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Q 40. Déterminer le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\ge1}(1+1/2+\cdots+1/n)x^n}, de somme {g}.
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Q 41. À l’aide des séries {\sum\limits_{n\ge0}x^n} et {\sum\limits_{n\ge1}x^n/n}, montrer que {g(x)=\ln(1-x)/(x-1)} sur {]-1,1[}.
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Q 42. Montrer qu’il existe {M\gt0} tel que {|f(x)-g(x)|\le M/(1-x)} pour {x\in[0,1[}.
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Q 43. En déduire {f(x)\sim g(x)} lorsque {x\to1^-}.
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VII.C — Étude en {-1}
On définit {c_1=-1} et, pour {n\ge2},
{c_n=-\ln(1-1/n)-\frac1n.}On note {h} la somme de la série entière {\sum\limits_{n\ge1}c_nx^n}.
Q 44. Montrer que cette série a un rayon de convergence égal à {1}, puis préciser le domaine de définition de {h}.
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Q 45. Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}c_n=-\gamma}.
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Q 46. La fonction {h} est-elle continue en {1} ?
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Q 47. Montrer, pour
{p\ge1},
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=1}^{2p}(-1)^kc_k\\[8pt]\quad=\displaystyle\ln\left(\frac{2^{4p}(p!)^4}{2p((2p)!)^2}\right)+\displaystyle\sum_{k=1}^{2p}\frac{(-1)^{k-1}}k.\end{array}}
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Q 48. On rappelle que
{\sum\limits_{k\ge1}(-1)^{k-1}/k=\ln2}. Montrer que
{\lim_{x\to-1^+}f(x)=\frac12\ln\frac\pi2.}On pourra établir une relation entre {f} et {h}.
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