2024-Centrale-Mp2-corrigé

Centrale-Supélec 2024 — Mathématiques 2 — MP, MPI

Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Notations
Dans tout le problème, {\mathbb K} désigne {\mathbb R} ou {\mathbb C}.
On note {\mathbb K[X]} le {\mathbb K}-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans {\mathbb K}.
Pour tout {d\in\mathbb N}, {\mathbb K_d[X]} désigne le {\mathbb K}-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à {d}.
On note {\mathbb U} le groupe multiplicatif des nombres complexes de module {1}.
Objectifs du problème
Soit {h} une fonction de {\mathbb K} dans {\mathbb K}. On dit qu’une fonction {f} de {\mathbb K} dans {\mathbb K} est solution de l’équation {(E_h)} sur {\mathbb K} si
{\forall x\in\mathbb K,\quad f(x+1)-f(x)=h(x).\qquad(E_h)}Le but du problème est l’étude de l’équation {(E_h)}.
La partie I de ce problème étudie l’existence de solutions dans le cas où {h} est polynomiale.
La partie II introduit la définition et établit quelques propriétés des fonctions entières.
La partie III définit les polynômes de Bernoulli et explicite une solution polynomiale à l’équation {(E_h)}, ainsi qu’une application analytique de ces polynômes.
La partie IV étend la résolution de {(E_h)} au cas où {h} est une fonction entière.

I — Étude de l’opérateur différence finie

On considère l’application {\Delta} définie par
{\Delta:\left\{\begin{array}{rcl}\mathbb K[X]&\longrightarrow&\mathbb K[X],\\[8pt]P(X)&\longmapsto&P(X+1)-P(X).\end{array}\right.}

On note {\Delta_d} l’endomorphisme de {\mathbb K_d[X]} induit par {\Delta}.

II — Fonctions entières

On note {\omega} l’application de {[0,1]} dans {\mathbb C} définie, pour tout {t\in[0,1]}, par {\omega(t)=\mathrm e^{2\mathrm i\pi t}}.

II.A — Généralités

On note {\mathcal E} l’ensemble des fonctions {f:\mathbb C\to\mathbb C} développables en série entière de rayon de convergence infini.

II.B — Une intégrale

Pour tout {p\in\mathbb Z}, on pose
{I_p=\int_0^1\frac{\omega(t)^{p+1}}{\mathrm e^{\omega(t)}-1}\,\mathrm dt.}

III — Polynômes de Bernoulli

Pour tout {n\in\mathbb N} et tout {z\in\mathbb C}, on définit dans cette partie
{B_n(z)=n!\int_0^1\frac{\mathrm e^{z\omega(t)}}{(\mathrm e^{\omega(t)}-1)\omega(t)^{n-1}}\,\mathrm dt.}

III.A — Lien avec l’équation {(E_h)}

III.B — Unicité

III.C — Une application analytique

Soit {\psi} la fonction de {\mathbb R} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {x\in\mathbb R},
{\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{x}{\mathrm e^x-1}&\text{si }x\ne0,\\[8pt]1&\text{sinon}.\end{array}\right.}Soit de plus {u} la fonction de {\mathbb R^2} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {(x,t)\in\mathbb R^2},
{u(x,t)=\psi(x)\mathrm e^{tx}.}

Pour tout {n\in\mathbb N}, soit {A_n} la fonction de {\mathbb R} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {t\in\mathbb R},
{A_n(t)=\frac{\partial^n u}{\partial x^n}(0,t).}

IV — Solution entière de l’équation {(E_h)}

IV.A — Une inégalité de contrôle

On se propose dans cette partie de montrer par l’absurde la propriété {\mathcal P} :
{\begin{array}{l} \exists c>0,\ \forall n\in\mathbb N,\ \forall z\in\mathbb C,\\[8pt] |z|=(2n+1)\pi\ \Longrightarrow\ |\mathrm e^z-1|\geq c. \end{array}}On suppose que {\mathcal P} est fausse.

Pour tout {p\in\mathbb N}, on note {a_p=\operatorname{Re}(z_p)} et {b_p=\operatorname{Im}(z_p)}.

IV.B — Une solution à {(E_h)}

Pour tout {n\in\mathbb N}, on définit maintenant
{\gamma_n:\left\{\begin{array}{rcl}[0,1]&\longrightarrow&\mathbb C,\\[8pt]t&\longmapsto&(2n+1)\pi\mathrm e^{2\mathrm i\pi t}.\end{array}\right.}Pour tout {n\in\mathbb N} et tout {z\in\mathbb C}, soit
{Q_n(z)=n!\int_0^1\frac{\mathrm e^{z\gamma_n(t)}}{(\mathrm e^{\gamma_n(t)}-1)\gamma_n(t)^{n-1}}\,\mathrm dt.}