Centrale-Supélec 2024 — Mathématiques 1 — MP, MPI
Inégalité de Carleman
Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
On s’intéresse dans ce problème à une inégalité établie par Torsten Carleman : si {(a_k)_{k\in\mathbb N^*}} est une suite de réels strictement positifs telle que {\sum\limits_{n\geq1}a_n} converge, alors la série de terme général {\left(\prod\limits_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}} converge et
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\leq\mathrm e\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.\end{array}}Le problème est constitué de trois parties largement indépendantes. La première partie commence en démontrant un analogue intégral de cette inégalité : l’inégalité de Knopp.
La deuxième partie s’intéresse à la démonstration originale de l’inégalité de Carleman, utilisant du calcul différentiel. Enfin, la troisième partie étudie l’inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l’inégalité de Carleman.
I — Inégalité de Knopp
Dans cette partie, on démontre l’inégalité de Knopp, souvent présentée comme analogue continu de l’inégalité de Carleman ; on justifie cette appellation en fin de partie.
I.A — Deux inégalités intégrales
I.A.1) Inégalité intégrale de Jensen
{\begin{array}{l}\displaystyle\varphi\left(\frac1{b-a}\int_a^b f(t)\,\mathrm dt\right)\\[8pt]\displaystyle\leq\frac1{b-a}\int_a^b\varphi\circ f(t)\,\mathrm dt.\end{array}}On pourra utiliser des sommes de Riemann.
I.A.2) Une autre inégalité intégrale
Soit {f:\mathbb R_+\to\mathbb R} une fonction continue par morceaux, strictement positive et intégrable.
Pour tout {x>0}, on pose
{\begin{array}{l}g(x)=\displaystyle\frac1x\int_0^x t f(t)\,\mathrm dt,\\[12pt]
h(x)=\displaystyle\frac{g(x)}x=\frac1{x^2}\int_0^x t f(t)\,\mathrm dt.\end{array}}
Notant {\mathbf1_{[0,x]}} la fonction indicatrice de {[0,x]}, on pourra remarquer que
{g(x)=\int_0^{+\infty}\frac tx f(t)\mathbf1_{[0,x]}(t)\,\mathrm dt.}
{\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=\int_0^{+\infty}h(x)\,\mathrm dx.}On pourra utiliser une intégration par parties.
I.B — Démonstration de l’inégalité de Knopp
Soit {f} une fonction continue par morceaux, strictement positive, intégrable sur {\mathbb R_+}.
{\begin{array}{l}\displaystyle\exp\left(\frac1x\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm dt\right)\leq\frac{\mathrm e}{x^2}\int_0^x t f(t)\,\mathrm dt.\end{array}}On pourra remarquer que {\ln(f(t))=\ln(tf(t))-\ln(t)}.
{\begin{array}{l} \displaystyle\int_0^{+\infty}\exp\left(\frac1x\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm dt\right)\,\mathrm dx\\[8pt]\displaystyle\leq\mathrm e\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx. \end{array}}
I.C — Application à l’inégalité de Carleman
On suppose dans cette sous-partie que {(a_n)_{n\in\mathbb N^*}} est une suite décroissante de réels strictement positifs. On note {f} la fonction en escalier qui, pour tout {k\in\mathbb N^*}, est égale à {a_k} sur l’intervalle {[k-1,k[}.
{\begin{array}{ll} v_k(x)=\displaystyle\frac1x\sum_{i=1}^{k-1}\ln(a_i)\\[8pt]\displaystyle +\frac{x-k+1}{x}\ln(a_k),&k\geq2,\\[8pt] v_1(x)=\ln(a_1),&k=1, \end{array}}est minimale pour {x=k}.
{\begin{array}{l} \displaystyle\int_{k-1}^k\exp\left(\frac1x\int_0^x\ln(f(t))\,\mathrm dt\right)\,\mathrm dx\\[12pt]\displaystyle \geq\exp\left(\frac1k\sum_{i=1}^k\ln(a_i)\right). \end{array}}On pourra utiliser la question précédente.
II — Inégalité de Carleman
On démontre dans cette partie l’inégalité de Carleman d’une manière indépendante de la partie I.
La sous-partie II.A établit l’inégalité arithmético-géométrique avec des méthodes de calcul différentiel qui permettent de se familiariser avec celles qui seront utilisées dans la sous-partie II.B pour démontrer l’inégalité de Carleman.
La sous-partie II.B est indépendante de II.A. L’inégalité arithmético-géométrique sera utilisée dans la partie III.
Soit {n\in\mathbb N^*}. On note {U_n} l’ouvert {(\mathbb R_+^*)^n}. Son adhérence, notée {\overline{U_n}}, est {(\mathbb R_+)^n}.
II.A — Inégalité arithmético-géométrique
Soit {s>0}. On définit les fonctions {f} et {g_s} sur {\overline{U_n}} en posant, pour tout {x=(x_1,\ldots,x_n)\in\overline{U_n}},
{f(x)=\prod_{k=1}^n x_k,\qquad g_s(x)=\sum_{k=1}^n x_k-s.}On note {X_s} le sous-ensemble de {\overline{U_n}} constitué des zéros de {g_s} :
{X_s=\{x\in\overline{U_n}:g_s(x)=0\}.}
On pourra vérifier que {f} est strictement positive en certains points de {X_s\cap U_n}.
On note {a=(a_1,\ldots,a_n)} un élément de {X_s\cap U_n} en lequel la restriction de {f} à {X_s} atteint son maximum.
{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}\leq\frac1n\sum_{i=1}^n x_i,}et en déduire l’inégalité arithmético-géométrique : pour tout {(x_1,\ldots,x_n)\in(\mathbb R_+)^n},
{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}\leq\frac1n\sum_{i=1}^n x_i.}
II.B — Démonstration de l’inégalité de Carleman
On considère l’application {F_n} de {\overline{U_n}} dans {\mathbb R}, définie, pour {x=(x_1,\ldots,x_n)\in\overline{U_n}}, par
{\begin{array}{rl}
F_n(x)&=x_1+(x_1x_2)^{1/2}\\[8pt]&\quad+\cdots+(x_1\cdots x_n)^{1/n}\\[8pt]
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n(x_1\cdots x_k)^{1/k}.
\end{array}}On note {h_n} l’application de {\overline{U_n}} dans {\mathbb R} définie par
{h_n(x)=x_1+\cdots+x_n-1.}On admet que {F_n} et {h_n} sont toutes deux de classe {\mathcal C^1} sur {U_n}. On note
{H_n=\{x\in\mathbb R^n:x_1+\cdots+x_n=1\}.}
On admet que le maximum de {F_n} est en fait atteint sur {U_n\cap H_n}.
On note {M_n} le maximum de {F_n} sur {\overline{U_n}\cap H_n} et on note {(a_1,\ldots,a_n)} un point de {U_n\cap H_n} en lequel il est atteint.
Pour {k} entre {1} et {n}, on note {\gamma_k=(a_1a_2\cdots a_k)^{1/k}}.
{\left\{\begin{array}{l} \gamma_1+\gamma_2/2+\cdots+\gamma_n/n=\lambda a_1,\\[8pt] \gamma_2/2+\cdots+\gamma_n/n=\lambda a_2,\\[8pt] \vdots\\[8pt] \gamma_n/n=\lambda a_n,\\[8pt] a_1+\cdots+a_n=1. \end{array}\right.}
{\left\{\begin{array}{ll} \omega_k=k\left(1-\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right),&1\leq k\lt n,\\[8pt] \omega_n=n. \end{array}\right.}
L’objectif des trois questions suivantes est de démontrer que {\lambda\leq\mathrm e}. On suppose par l’absurde que {\lambda>\mathrm e}.
{\frac1{\mathrm e}\leq\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k+1}.}
On pourra démontrer, pour {k\in\llbracket1,n-1\rrbracket}, que
{\omega_{k+1}^{k+1}=\frac1\lambda\omega_k^k\left(1-\frac{\omega_k}k\right)^{-k}.}
{\sum_{k=1}^n(x_1x_2\cdots x_k)^{1/k}\leq\mathrm e.}
III — Inégalité de Carleman-Yang
Le but de cette dernière partie est d’établir l’inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l’inégalité de Carleman.
III.A — Un développement en série entière
Soit {\varphi} la fonction définie par
{\begin{array}{l}\varphi(t)=(1-t)^{1-1/t},\qquad\text{(III.1)}\\[8pt]-1\lt t\lt 1,\quad t\ne0.\end{array}}On définit aussi la suite {(b_n)_{n\in\mathbb N}} par
{\left\{\begin{array}{l}
b_0=-1,\\[8pt]
\displaystyle b_n=-\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{b_{n-k}}{k+1}\quad(n\geq1).
\end{array}\right.}
On notera toujours {\varphi} ce prolongement.
{\psi(t)=-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^n}{n+2}.\qquad\text{(III.2)}}Puis démontrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*},
{\varphi^{(n)}(0)=-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k!}{k+2}\binom{n-1}{k}\varphi^{(n-k-1)}(0).}
{\varphi(t)=\mathrm e\left(1-\sum_{k=1}^{+\infty}b_k t^k\right).\qquad\text{(III.3)}}
III.B — Démonstration de l’inégalité de Carleman-Yang
Soient {(a_n)_{n\in\mathbb N^*}} et {(c_n)_{n\in\mathbb N^*}} deux suites de réels strictement positifs.
{\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\\[8pt]\displaystyle \leq\sum_{k=1}^{+\infty}c_k a_k\sum_{n=k}^{+\infty}\frac1n\left(\prod_{i=1}^n c_i\right)^{-1/n}. \end{array}}
{\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}\\[12pt]\displaystyle \leq\mathrm e\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{b_k}{(n+1)^k}\right)a_n. \end{array}}