2023-X-Ens-MpB-corrigé

École polytechnique — Concours 2023

Mathématiques B — Filière MP-MPI

Notations
On note {\mathbb{R}} le corps des réels et {\mathbb{R}_+^\star} l’ensemble des réels strictement positifs.
Pour {\rho>0}, on pose {U_\rho=]-\rho,\rho[}.
On note {\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})} l’espace des fonctions réelles développables en série entière sur {U_\rho}.
Une telle fonction s’écrit, de manière unique :
{f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nt^n\quad(t\in U_\rho)}Pour {0\lt r\lt\rho}, la série {\sum\limits_{n\geqslant0}|a_n|r^n} converge, et on pose :
{\|f\|_r=\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|r^n}
Matrices
On note {\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})} l’espace des matrices réelles à {n} lignes et {m} colonnes, et {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})}.
On note {I_n} l’identité, {M^T} la transposée et {S_n(\mathbb{R})} l’espace des matrices symétriques.
Une matrice est orthogonale si {M^TM=I_n}.
La notation {\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R}))} désigne les fonctions matricielles dont chaque coefficient appartient à {\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})}.
On utilise de même {\mathcal{D}_\rho(S_n(\mathbb{R}))} pour celles à valeurs symétriques.
Pour une telle fonction {M}, {M|_{t=a}} désigne la matrice évaluée en {a}.
La transposition s’effectue coefficient par coefficient ; {I_n} désigne aussi la fonction constante correspondante.
Si {n=n_1+\cdots+n_k}, {\operatorname{Diag}(M_1,\ldots,M_k)} désigne la matrice diagonale par blocs de blocs {M_i\in\mathcal{M}_{n_i}(\mathbb{R})}.
Cette notation s’étend aux fonctions matricielles par évaluation en chaque {t}.
Enfin, {\ker M=\{v:Mv=0\}} et {\operatorname{im}M=\{Mv:v\in\mathbb{R}^m\}} pour {M\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})}.
Polynômes
On note {\mathbb{R}_n[X]} l’espace des polynômes réels de degré au plus {n}.
Un élément de {\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])} s’écrit :
{\begin{array}{l}P=f_0+f_1X+\cdots+f_nX^n,\\\\[6pt]f_i\in\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})\end{array}}Son degré est le plus grand indice d’un coefficient non identiquement nul.
Il est unitaire de degré {d} si son coefficient de {X^d} est la fonction constante {1} et si les suivants sont nuls.
On note {P|_{t=a}=\sum\limits_{i=0}^nf_i(a)X^i}.
Pour une fonction matricielle carrée {M}, {P(M)} désigne la fonction {a\mapsto P|_{t=a}(M|_{t=a})}.
Dans tout le problème, on fixe {\rho>0}.

Première partie

Dans la suite, on identifie {\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})} à un sous-anneau de {\mathcal{D}_r(\mathbb{R})}.

6. Soit {f\in\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})} avec {f(0)\neq0}.
On veut montrer qu’il existe {0\lt r\leqslant\rho} tel que {1/f\in\mathcal{D}_r(\mathbb{R})}.

On écrit à présent {f(t)=\sum\limits_{i\geqslant0}a_it^i} et on suppose {a_0=1}.

On définit désormais la suite {(b_n)_{n\geqslant0}} par cette récurrence.

Deuxième partie

Soit {n\in\mathbb{N}}.
Pour {P=\sum\limits_{i=0}^nf_iX^i\in\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])} et {r,s>0} avec {r\lt\rho}, on définit :
{\|P\|_{r,s}=\sum_{i=0}^n\|f_i\|_r\,s^i}8. Soient {n,m\in\mathbb{N}} et {r,s>0} avec {r\lt\rho}.

9. Soient {A,B\in\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])}, avec {B} unitaire de degré {d\leqslant n}.

Les éléments {Q,R} sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de {A} par {B}.

On se propose de démontrer le résultat suivant.
Théorème 1. Soit {P\in\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])} unitaire, et {\lambda\in\mathbb{R}} une racine de {P|_{t=0}} de multiplicité {d}.
Il existe {0\lt r\leqslant\rho} et des polynômes unitaires {F\in\mathcal{D}_r(\mathbb{R}_d[X])}, {G\in\mathcal{D}_r(\mathbb{R}_{n-d}[X])} tels que :
{\begin{array}{l}P=FG,\\\\[6pt]F|_{t=0}=(X-\lambda)^d\end{array}}Pour cela, on se donne {P=f_0+f_1X+\cdots+f_nX^n}.
On suppose d’abord {\lambda=0}, {f_0(0)=\cdots=f_{d-1}(0)=0}, et {f_d=1}.

On définit {(F_i)_{i\geqslant0}} par :
{\begin{array}{l}F_0=f_0+f_1X+\cdots+f_dX^d,\\\\[6pt]F_{i+1}=F_i+R_i\end{array}}Ici, {P=F_iQ_i+R_i} est la division euclidienne de {P} par {F_i}.
La question 10 montre que tous les {F_i} sont unitaires de degré {d} et valent {X^d} en {t=0}.
Pour {r,s>0} avec {r\lt\rho}, on pose :
{\begin{array}{l}\alpha_i=s^{-d}\|F_i-X^d\|_{r,s},\\\\[4pt]\beta_i=\|1-Q_i\|_{r,s},\\\\[4pt]\varepsilon_i=s^{-d}\|R_i\|_{r,s}.\end{array}}À partir de maintenant et jusqu’à la fin de cette partie, on fait l’hypothèse de la question 11 sur {r,s}.

Troisième partie

Une matrice {M\in\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))} est dite orthogonale si {M^TM=I_n}.
On veut démontrer le résultat suivant.
Théorème 2. Si {M\in\mathcal{D}_\rho(S_n(\mathbb{R}))}, il existe {0\lt r\leqslant\rho} et une matrice orthogonale {P\in\mathcal{D}_r(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))} tels que {P^TMP} soit diagonale.
On considère {M\in\mathcal{D}_\rho(S_n(\mathbb{R}))} et on pose {\chi=\det(XI_n-M)\in\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])}.

On fixe une valeur propre réelle {\lambda} de {M|_{t=0}}, de multiplicité {d} dans {\chi|_{t=0}}.
Par le théorème 1, sur un intervalle {U_{\rho_1}} avec {0\lt\rho_1\leqslant\rho}, on a {\chi=FG}, où {F,G} sont unitaires de degrés {d,n-d} et {F|_{t=0}=(X-\lambda)^d}.

On pose {A=F(M)} et {B=G(M)}.
Ce sont des éléments de {\mathcal{D}_{\rho_1}(S_n(\mathbb{R}))}.
Pour {a\in U_{\rho_1}}, on note {A_a=A|_{t=a}} et {B_a=B|_{t=a}}.

On pose {Q=(BU\mid AV)\in\mathcal{D}_{\rho_1}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))}.
Pour un rayon positif, {\operatorname{GL}_n(\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}))} désigne les fonctions matricielles analytiques, inversibles en chaque point, dont l’inverse point par point est encore analytique sur {U_\rho}.

22. On considère un réel {a\in U_{\rho_2}}.