Mines-Ponts 2023 — PC-Psi — Mathématiques I
Quelques inégalités de convexité autour du déterminant
Notations et résultats admis
On fixe {n\geq2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)} les matrices carrées réelles d’ordre {n}, {I_n} la matrice identité, {A^T} la transposée de {A}, {\operatorname{Tr}(A)} sa trace et {\operatorname{Sp}(A)} son spectre.
Sur les vecteurs colonnes, le produit scalaire est {\langle X,Y\rangle=X^TY} et la norme associée est notée {\|X\|}. On admet que {\|A\|_2=\sqrt{\operatorname{Tr}(A^TA)}} est une norme sur {\mathcal M_n(\mathbb R)}.
On note {\mathcal S_n(\mathbb R)} les matrices symétriques. Une telle matrice {S} appartient à {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} si {X^TSX\geq0} pour tout {X\ne0}, et à {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} si cette quantité est strictement positive pour tout {X\ne0}.
Une partie non vide {C} d’un espace vectoriel réel est convexe si {(1-t)x+ty\in C} pour {x,y\in C} et {t\in[0,1]}. On admet qu’une combinaison finie à coefficients positifs ou nuls de somme {1} d’éléments de {C} appartient encore à {C}.
Une fonction {f:C\to\mathbb R} est convexe si {f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y).}Elle est concave si l’inégalité est inversée, c’est-à-dire si {-f} est convexe.
Partie 1 — Questions préliminaires
1. Montrer que {S\in\mathcal S_n(\mathbb R)} appartient à {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} si et seulement si {\operatorname{Sp}(S)\subset\mathbb R_+}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On admet de même que {S\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
2. Montrer que {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} et {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} sont convexes. Sont-elles des sous-espaces vectoriels ?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Si {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}, montrer qu’il existe {S\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} telle que {A=S^2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Soit {f:I\to\mathbb R} convexe sur un intervalle {I}. Pour {p\geq1}, {\lambda_i\geq0}, {\sum\limits_{i=1}^p\lambda_i=1} et {x_i\in I}, montrer que {f\left(\sum_{i=1}^p\lambda_i x_i\right)\leq\sum_{i=1}^p\lambda_i f(x_i).}On pourra procéder par récurrence sur {p}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Partie 2 — Une première inégalité de convexité
Soit {M\in\mathcal S_n^+(\mathbb R)} non nulle.
5. Montrer que {\operatorname{Tr}(M)/n\geq\det(M)^{1/n}}. On pourra utiliser la convexité de {x\mapsto-\ln x} sur {\mathbb R_+^*}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On admet, pour {x_1,\ldots,x_n\geq0}, l’inégalité suivante. En posant {m=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n x_k} et {d=\prod\limits_{k=1}^n x_k^{1/n}}, elle s’écrit {2\max(x_1,\ldots,x_n)(m-d)\geq\frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-d)^2.}
6. Exprimer {\|M\|_2} en fonction des valeurs propres de {M}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
7. En déduire {\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\operatorname{Tr}(M)}n-\det(M)^{1/n}\\[8pt]\qquad\geq\displaystyle\frac{\|M-\det(M)^{1/n}I_n\|_2^2}{2n\|M\|_2}.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Partie 3 — On continue avec de la convexité
8. Pour {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} et {B\in\mathcal S_n(\mathbb R)}, montrer qu’il existe {D} diagonale et {Q} inversible telles que {B=QDQ^T} et {A=QQ^T}. Que dire des éléments diagonaux de {D} si {B} est définie positive ? On pourra utiliser Q3.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
9. Étudier la convexité de {t\mapsto\ln(1+e^t)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
10. Montrer que, pour {A,B\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}, {\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
11. Pour {A,B\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} et {t\in[0,1]}, montrer que {\det((1-t)A+tB)\geq\det(A)^{1-t}\det(B)^t.}Justifier que l’inégalité reste valable si {A,B\in\mathcal S_n^+(\mathbb R)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
12. Que peut-on en déduire pour {\ln\circ\det} sur {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} ?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Partie 4 — Encore de la convexité !
Soit {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}. On pose {g(t)=\det(I_n+tA)} pour {t\in\mathbb R}.
13. Exprimer {g(t)} à l’aide des valeurs propres de {A} et en déduire que {g\in\mathcal C^\infty(\mathbb R)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
14. Soit {f(t)=\ln\det(I_n+tA)}. Montrer que, pour {t\geq0}, {\ln\det(I_n+tA)\leq\operatorname{Tr}(A)t.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Partie 5 — Et pour finir… de la convexité !
Soient {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} et {M\in\mathcal S_n(\mathbb R)}. On définit {f_A(t)=\det(A+tM)} pour {t\in\mathbb R}.
15. Montrer que {f_A} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
16. Montrer qu’il existe {\varepsilon_0>0} tel que {A+tM\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} pour {|t|\lt \varepsilon_0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
17. Montrer que, lorsque {t\to0}, {f_A(t)=\det A+\det A\operatorname{Tr}(A^{-1}M)t+o(t).}On pourra commencer par {A=I_n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
18. Déterminer {f'_A(t)} pour {|t|\lt \varepsilon_0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
19. On admet que {\Phi(t)=(A+tM)^{-1}} est de classe {\mathcal C^1} sur {]-\varepsilon_0,\varepsilon_0[}. En dérivant {\Phi(t)(A+tM)=I_n}, montrer que {\Phi(t)=A^{-1}-A^{-1}MA^{-1}t+o(t).}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Soit {\alpha\in]-1/n,+\infty[\setminus\{0\}}. Pour {|t|\lt \varepsilon_0}, on définit {\varphi_\alpha(t)=\frac1\alpha\det(A+tM)^{-\alpha}.}
20. Montrer que {\varphi_\alpha} est dérivable et que {\varphi'_\alpha(t)=-\operatorname{Tr}\bigl((A+tM)^{-1}M\bigr)\det(A+tM)^{-\alpha}.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
21. Montrer que {\varphi_\alpha} est deux fois dérivable en {0} et que {\begin{array}{l}\varphi''_\alpha(0)=\det(A)^{-\alpha}\\[8pt]\quad\times\left(\alpha\operatorname{Tr}(A^{-1}M)^2+\operatorname{Tr}\bigl((A^{-1}M)^2\bigr)\right).\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
22. Montrer que {A^{-1}M} est semblable à une matrice symétrique réelle. On pourra utiliser Q3.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
23. En déduire que {\varphi''_\alpha(0)\geq0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
24. Si {\varphi''_\alpha(0)>0}, montrer qu’il existe {\eta>0} tel que, pour {|t|\lt \eta}, {\begin{array}{l}\displaystyle\frac1\alpha\det(A+tM)^{-\alpha}\\[8pt]\qquad\geq\displaystyle\frac1\alpha\det(A)^{-\alpha}\\[8pt]\qquad\quad{}-\operatorname{Tr}(A^{-1}M)\det(A)^{-\alpha}t.\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :