Concours commun Mines-Ponts 2023 — Mathématiques I — MP
Théorème de stabilité de Liapounov
Dans tout le problème, {n\geqslant1}.
On note {\langle\cdot\mid\cdot\rangle} le produit scalaire usuel sur {\mathbb{K}^n}, avec {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, et {\|\cdot\|} la norme associée.
Sur {\mathbb{C}^n}, il s’agit du produit scalaire hermitien usuel.
Le produit {uv} de deux applications linéaires désigne leur composée {u\circ v}, lorsqu’elle est définie.
Pour un endomorphisme {u} de {E}, on pose {u^0=\operatorname{id}_E} et {u^k=u\circ\cdots\circ u}, avec {k} facteurs si {k\geqslant1}.
On considère le système :
{\left\{\begin{array}{l}y'=\varphi(y),\\[4pt]y(0)=x_0,\end{array}\right.}avec {x_0\in\mathbb{R}^n} et {\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n} de classe {C^1}, vérifiant {\varphi(0)=0}.
Le point {0} est un équilibre.
On cherche une condition sur le spectre de {d\varphi(0)} assurant sa stabilité, ainsi qu’une estimation de la dynamique des solutions proches de cet équilibre.
Théorème de Liapounov. Si toutes les valeurs propres complexes de {d\varphi(0)} ont une partie réelle strictement négative, il existe {\widetilde\alpha,C,\beta>0} tels que, pour tout {x_0\in B(0,\widetilde\alpha)} et tout {t\geqslant0} :
{\|f_{x_0}(t)\|\leqslant Ce^{-\beta t}\|x_0\|,}où {f_{x_0}} est l’unique solution du système et {B(0,\widetilde\alpha)} la boule ouverte pour la norme {\|\cdot\|}.
La partie A étudie une norme d’endomorphismes.
La partie B traite le système linéaire.
La partie C démontre le théorème à partir, notamment, du résultat final de B.
A — Étude d’une norme sur {\mathcal L(E)}
Soit {E} un sous-espace de {\mathbb{K}^n} et {u\in\mathcal L(E)}.
{\sup_{\substack{x\in E\\[2pt]x\neq0}}\frac{\|u(x)\|}{\|x\|}=\sup_{\substack{x\in E\\[2pt]\|x\|=1}}\|u(x)\|.}
Montrer que {\lVert\!\lvert \cdot\rvert\!\rVert} est une norme sur {\mathcal L(E)}.
{\forall u,v\in\mathcal L(E),\qquad\lVert\!\lvert uv\rvert\!\rVert\leqslant\lVert\!\lvert u\rvert\!\rVert\,\lVert\!\lvert v\rvert\!\rVert.}En déduire une majoration de {\lVert\!\lvert u^k\rvert\!\rVert} pour tout {k\in\mathbb{N}}.
B — Étude de la stabilité en {0} du système linéaire
Dans cette partie, {a} est un endomorphisme de {\mathbb{C}^n}.
{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbb{C}^n=\bigoplus_{i=1}^rE_i,\\[8pt]E_i=\ker(a-\lambda_i\operatorname{id}_{\mathbb{C}^n})^{m_i}.\end{array}}
Tout {x\in\mathbb{C}^n} possède donc une unique décomposition {x=\sum\limits_{i=1}^rx_i}, avec {x_i\in E_i}.
Pour {i\in\{1,\ldots,r\}}, on définit les applications linéaires {p_i:\mathbb{C}^n\to E_i}, {x\mapsto x_i}, et {q_i:E_i\to\mathbb{C}^n}, {x_i\mapsto x_i}.
On note {\lVert\!\lvert \cdot\rvert\!\rVert_i} la norme de la partie A sur {\mathcal L(E_i)}, avec la norme euclidienne induite, et {\lVert\!\lvert \cdot\rvert\!\rVert_c} celle sur {\mathcal L(\mathbb{C}^n)}.
On pose {a_i=p_iaq_i}.
Les applications {p_i,q_i} n’ont en général pas le même espace de départ et d’arrivée ; leurs compositions ci-dessous sont bien définies.
{\forall u\in\mathcal L(E_i),\qquad\lVert\!\lvert q_iup_i\rvert\!\rVert_c\leqslant C_i\lVert\!\lvert u\rvert\!\rVert_i.}
{e^{ta}=\sum_{i=1}^rq_ie^{ta_i}p_i.}
{\begin{array}{l}\displaystyle\lVert\!\lvert e^{ta_i}\rvert\!\rVert_i\leqslant|e^{t\lambda_i}|\sum_{k=0}^{m_i-1}\frac{|t|^k}{k!}d_i^k,\\[8pt]d_i=\lVert\!\lvert a_i-\lambda_i\operatorname{id}_{E_i}\rvert\!\rVert_i.\end{array}}
{\lVert\!\lvert e^{ta}\rvert\!\rVert_c\leqslant P(|t|)\sum_{i=1}^re^{t\operatorname{Re}(\lambda_i)}.}
On note {\lVert\!\lvert \cdot\rvert\!\rVert_r} et {\lVert\!\lvert \cdot\rvert\!\rVert_c} leurs normes respectives.
Montrer qu’il existe {C>0} tel que, pour toute matrice réelle {A} et tout {t\in\mathbb{R}} :
{\lVert\!\lvert e^{tu_A}\rvert\!\rVert_r\leqslant C\lVert\!\lvert e^{tv_A}\rvert\!\rVert_c.}
Dans la suite de B, {u\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)} et {A} est sa matrice dans la base canonique.
On note {\operatorname{Sp}(A)} son spectre complexe.
La fonction {g_{x_0}} est l’unique solution de classe {C^1} sur {\mathbb{R}_+} du système {y'=u(y)}, {y(0)=x_0}.
{\begin{array}{c}\forall x_0\in\mathbb{R}^n,\quad\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\|g_{x_0}(t)\|=0\\[6pt]\Longleftrightarrow\\[6pt]\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb{R}_{-}^*+i\mathbb{R}.\end{array}}
Montrer qu’il existe {C_2,\alpha>0} tels que :
{\forall t\geqslant0,\qquad\lVert\!\lvert e^{tu}\rvert\!\rVert_r\leqslant C_2e^{-\alpha t}.}En déduire une majoration de {\|g_{x_0}(t)\|}.
C — Démonstration du théorème de Liapounov
On considère {\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n} de classe {C^1}, avec {\varphi(0)=0}.
On pose {a=d\varphi(0)} et l’on suppose que toutes ses valeurs propres complexes ont une partie réelle strictement négative.
Pour {x_0\in\mathbb{R}^n}, on considère de nouveau {y'=\varphi(y)}, {y(0)=x_0}.
Comme l’énoncé le demande, on admet ici l’existence d’une solution sur {\mathbb{R}_+}, notée {f_{x_0}}.
{b(x,y)=\int_0^{+\infty}\langle e^{ta}(x)\mid e^{ta}(y)\rangle\,dt}est bien définie et constitue un produit scalaire sur {\mathbb{R}^n}.
On note {q} la forme quadratique associée à {b} : pour tout {x\in\mathbb{R}^n}, {q(x)=b(x,x)}.
{dq(x)(a(x))=2b(x,a(x))=-\|x\|^2.}
Pour toute fonction {y:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^n}, on définit :
{\varepsilon(y)(t)=\varphi(y(t))-a(y(t)).}
{\begin{array}{l}(q\circ f_{x_0})'(t)=-\|f_{x_0}(t)\|^2\\[4pt]\qquad+2b\bigl(f_{x_0}(t),\varepsilon(f_{x_0})(t)\bigr).\end{array}}
{\begin{array}{l}q(f_{x_0}(t))\leqslant\alpha\Longrightarrow\\[4pt]\quad-\|f_{x_0}(t)\|^2+2b(f_{x_0}(t),\varepsilon(f_{x_0})(t))\\[4pt]\quad\leqslant-\beta q(f_{x_0}(t)).\end{array}}
On fixe un couple {(\alpha,\beta)} satisfaisant la question 18 pour la suite du problème.
{\begin{array}{l}q(x_0)\lt\alpha\quad\Longrightarrow\\[6pt]\forall t\geqslant0,\quad q(f_{x_0}(t))\leqslant e^{-\beta t}q(x_0).\end{array}}
{\|f_{x_0}(t)\|\leqslant Ce^{-\beta t/2}\|x_0\|.}