2023-Inp-Psi-Corrigé

CCINP — PSI — 2023

Le sujet comprend un exercice et deux problèmes indépendants. Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

Exercice — Fonction de Bessel

On définit {f:\mathbb R\to\mathbb R} par
{f(x)=\int_0^\pi\cos(x\sin t)\,dt.}Pour {n\in\mathbb N}, on note {W_n=\int_0^\pi\sin^{2n}t\,dt}.

Problème 1 — Marche aléatoire sur {\mathbb Z}

Une particule part de {0} à l’instant {0} et se déplace à chaque instant entier d’un pas vers la droite ou la gauche.
Soit {p\in]0,1[}. Sur un espace probabilisé {(\Omega,\Sigma,P)}, les variables {(X_t)_{t\ge1}} sont indépendantes et de même loi :
{P(X_t=1)=p,\quad P(X_t=-1)=1-p.}Pour {n\ge1}, {S_n=\sum\limits_{t=1}^nX_t} est la position après {n} déplacements. On rappelle la formule de Stirling :
{n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n.}Partie I — Un développement en série entière

Partie II — Probabilité de retour à l’origine
Pour {n\ge1}, on définit {u_n=P(S_n=0)}.

Partie III — Nombre de passages par l’origine
Pour {j\in\mathbb N}, {O_{2j}} vaut {1} si la particule est à l’origine à l’instant {2j}, et {0} sinon. On pose
{T_n=\sum_{j=0}^nO_{2j}.}On souhaite déterminer la limite de {E(T_n)}.

Problème 2 — Puissances de matrices et limites de suites de matrices

Pour {n,p\ge1}, avec {p=1} ou {p=n}, on considère des matrices {M_k=(m_{ij}^{(k)})\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb C)}. Ces espaces sont munis d’une norme notée {\|\cdot\|}.
On rappelle que {M_k\to A=(a_{ij})} équivaut à {\|M_k-A\|\to0}, et aussi à {m_{ij}^{(k)}\to a_{ij}} pour chaque coefficient. Une matrice colonne est assimilée à un vecteur de {\mathbb C^n}.
On étudie en particulier la suite des puissances {(M^k)} d’une matrice donnée.
Partie I — Diagonalisation et puissances d’une matrice particulière
Soit {n\ge3}. Pour {(a,b)\in\mathbb C^2}, la matrice {M(a,b)} a tous ses coefficients diagonaux égaux à {b} et tous ses autres coefficients égaux à {a} :
{M(a,b)=\begin{pmatrix}b&a&\cdots&a\\[8pt]a&b&\cdots&a\\[8pt]\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[8pt]a&a&\cdots&b\end{pmatrix}.}On note {P_{a,b}} son polynôme caractéristique et {I_n} la matrice identité. On remarque que {M(a,b)=bI_n+aM(1,0)}.

Partie II — Limite des puissances d’une matrice
Soit {n\ge1}. L’espace {\mathbb C^n} est muni d’une norme {\|\cdot\|} et de sa base canonique {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)}.
Soit {u} un endomorphisme dont toutes les valeurs propres vérifient {|\lambda|\lt1}. Sa matrice dans {\mathcal B} est {A}. Le but est de montrer {A^k\to0}.
Jusqu’à Q28, on suppose {A=T} triangulaire supérieure, de diagonale {(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)}.

On suppose qu’il existe {i\in\{1,\ldots,n-1\}} tel que {u^k(e_j)\to0} pour tout {j\le i}.

Partie III — Application à la méthode de Gauss-Seidel
Soit {A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb C)} à diagonale strictement dominante : pour chaque {i},
{|a_{ii}|\gt\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.}On admet que {A} est inversible. On écrit {A=M-F}, où {M} est la partie triangulaire inférieure de {A} et {F} la partie triangulaire supérieure stricte de {-A}.
Autrement dit, {m_{ij}=a_{ij}} et {f_{ij}=0} si {i\ge j} ; {m_{ij}=0} et {f_{ij}=-a_{ij}} si {i\lt j}.
Pour {Y\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)} donné, {X} désigne l’unique solution de {AX=Y}. On cherche une suite convergeant vers {X}.

On pose {B=M^{-1}F}. À partir de {X_0} quelconque, on définit
{X_{k+1}=BX_k+M^{-1}Y\quad(k\ge0).}

Soit {\lambda} une valeur propre de {B}, et {V=(v_1,\ldots,v_n)^\top} un vecteur propre associé. On convient qu’une somme vide vaut {0}.