Concours commun INP 2023 — Mathématiques 2 — MP
Le sujet comporte deux exercices et un problème, tous indépendants.
Exercice 1
On note {E=\mathbb{R}_2[X]}.
On peut utiliser sans démonstration que, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {x\mapsto x^ne^{-x}} est intégrable sur {[0,+\infty[} et :
{\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx=n!.}
Q1. Démontrer que l’on définit un produit scalaire sur {E} en posant :
{\langle P,Q\rangle=\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}\,dx.}On notera {\|\cdot\|} la norme euclidienne associée.
{\langle P,Q\rangle=\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}\,dx.}On notera {\|\cdot\|} la norme euclidienne associée.
Q2. Déterminer le projeté orthogonal de {X^2} sur {F=\mathbb{R}_1[X]}, noté {P_F(X^2)}.
Q3. Justifier que {\|X^2-P_F(X^2)\|^2=\|X^2\|^2-\|P_F(X^2)\|^2}, puis calculer :
{\inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\int_0^{+\infty}(x^2-ax-b)^2e^{-x}\,dx.}
{\inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\int_0^{+\infty}(x^2-ax-b)^2e^{-x}\,dx.}
Exercice 2
Soient {p\in]0,1[} et {q=1-p}.
Les variables aléatoires {X,Y}, indépendantes et à valeurs dans {\mathbb{N}}, suivent la même loi :
{\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(Y=k)=pq^k\quad(k\in\mathbb{N}).}On pose {Z=\sup(X,Y)} et {T=\inf(X,Y)}.
Q4. Pour {(m,n)\in\mathbb{N}^2}, déterminer {\mathbb{P}((Z=m)\cap(T=n))} en distinguant {m>n}, {m\lt n} et {m=n}.
Q5. En déduire la loi de {Z}.
Problème — Projecteurs associés à un endomorphisme
Dans ce problème, {E} est un espace vectoriel complexe de dimension finie.
Les décompositions spectrales sont présentées dans le cas {E\neq\{0\}} ; sur l’espace nul, les conclusions correspondantes sont immédiates.
Partie I
Q6. Un exemple. Vérifier que {A=\begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&3\end{pmatrix}} est diagonalisable.
Montrer que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\Pi_1=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]-1&1\end{pmatrix},\\[8pt]\displaystyle\Pi_2=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.\end{array}}sont des matrices de projecteurs, puis calculer {\Pi_1+5\Pi_2}, {\Pi_1+\Pi_2} et {\Pi_1\Pi_2}.
Montrer que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\Pi_1=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]-1&1\end{pmatrix},\\[8pt]\displaystyle\Pi_2=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.\end{array}}sont des matrices de projecteurs, puis calculer {\Pi_1+5\Pi_2}, {\Pi_1+\Pi_2} et {\Pi_1\Pi_2}.
Q7. On rappelle le lemme de décomposition des noyaux : si {P_1,\ldots,P_r\in\mathbb{C}[X]} sont deux à deux premiers entre eux, de produit {T}, alors :
{\ker T(u)=\bigoplus_{i=1}^r\ker P_i(u).}Démontrer le cas {r=2}.
Pour {P,Q} premiers entre eux, justifier d’abord {\ker P(u)\subset\ker(PQ)(u)} et l’inclusion analogue pour {Q}, puis montrer :
{\ker(PQ)(u)=\ker P(u)\oplus\ker Q(u).}
{\ker T(u)=\bigoplus_{i=1}^r\ker P_i(u).}Démontrer le cas {r=2}.
Pour {P,Q} premiers entre eux, justifier d’abord {\ker P(u)\subset\ker(PQ)(u)} et l’inclusion analogue pour {Q}, puis montrer :
{\ker(PQ)(u)=\ker P(u)\oplus\ker Q(u).}
Dans la suite, on pourra utiliser librement le lemme de décomposition des noyaux.
Q8. Soit {u\in\mathcal L(E)}, de polynôme minimal {\pi_u=P_1^{k_1}P_2^{k_2}}, où {P_1,P_2} sont premiers entre eux.
Pour {i\in\{1,2\}}, on pose {Q_i=\pi_u/P_i^{k_i}}.
Justifier l’existence de {R_1,R_2\in\mathbb{C}[X]} tels que {R_1Q_1+R_2Q_2=1}.
Pour {i\in\{1,2\}}, on pose {Q_i=\pi_u/P_i^{k_i}}.
Justifier l’existence de {R_1,R_2\in\mathbb{C}[X]} tels que {R_1Q_1+R_2Q_2=1}.
Pour la suite, on écrit la décomposition en facteurs premiers :
{\pi_u=P_1^{k_1}\cdots P_m^{k_m}.}Les {P_i} sont unitaires, irréductibles et distincts.
On pose {Q_i=\pi_u/P_i^{k_i}} et l’on admet qu’il existe {R_1,\ldots,R_m\in\mathbb{C}[X]} tels que :
{\sum_{i=1}^mR_iQ_i=1.}
Q9. On pose {p_i=R_i(u)\circ Q_i(u)}.
Montrer que, pour {i\neq j} :
{p_i\circ p_j=0,\qquad\sum_{i=1}^mp_i=\operatorname{id}_E,}et que chaque {p_i} est un projecteur.
On les appellera projecteurs associés à {u}.
Montrer que, pour {i\neq j} :
{p_i\circ p_j=0,\qquad\sum_{i=1}^mp_i=\operatorname{id}_E,}et que chaque {p_i} est un projecteur.
On les appellera projecteurs associés à {u}.
Q10. Soit {\chi_u=\prod\limits_{i=1}^m(X-\lambda_i)^{\alpha_i}} le polynôme caractéristique, avec les {\lambda_i} distincts et {\alpha_i\geqslant1}.
En posant {N_i=\ker(u-\lambda_i\operatorname{id}_E)^{\alpha_i}}, justifier que :
{E=N_1\oplus\cdots\oplus N_m.}
En posant {N_i=\ker(u-\lambda_i\operatorname{id}_E)^{\alpha_i}}, justifier que :
{E=N_1\oplus\cdots\oplus N_m.}
Q11. Démontrer que {E=\operatorname{Im}p_1\oplus\cdots\oplus\operatorname{Im}p_m}.
Q12. Démontrer que, pour tout {i\in\{1,\ldots,m\}}, {N_i=\operatorname{Im}p_i}.
Partie II
On suppose désormais {u} diagonalisable, et l’on note {\lambda_1,\ldots,\lambda_m} ses valeurs propres distinctes.
Q13. Quel est le polynôme minimal {\pi_u} de {u} ?
Q14. On pose {P_i=X-\lambda_i}, {Q_i=\pi_u/P_i} et {\theta_i=1/Q_i(\lambda_i)}.
Donner sans détails la décomposition en éléments simples de {1/\pi_u}, puis démontrer que :
{p_i=\frac{Q_i(u)}{Q_i(\lambda_i)}.}
Donner sans détails la décomposition en éléments simples de {1/\pi_u}, puis démontrer que :
{p_i=\frac{Q_i(u)}{Q_i(\lambda_i)}.}
Q15. Démontrer que :
{X=\sum_{i=1}^m\lambda_i\frac{Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)},}puis que {u=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_ip_i}, décomposition spectrale de {u}.
{X=\sum_{i=1}^m\lambda_i\frac{Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)},}puis que {u=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_ip_i}, décomposition spectrale de {u}.
Q16. On considère la matrice :
{A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\[4pt]1&1&-1&-1\\[4pt]1&-1&1&-1\\[4pt]1&-1&-1&1\end{pmatrix}.}
Q16. (a) Justifier que {A} est diagonalisable et calculer {A^2}.
Q16. (b) En déduire le polynôme minimal {\pi_A}, puis la décomposition spectrale de {A}.
On notera {\Pi_1,\Pi_2} les matrices des projecteurs associés.
On notera {\Pi_1,\Pi_2} les matrices des projecteurs associés.
Q16. (c) Calculer {A^q} pour tout {q\in\mathbb{N}} en fonction de {\Pi_1,\Pi_2}.
Q17. On note {\mathbb{C}[v]} l’algèbre des polynômes d’un endomorphisme {v} d’un espace vectoriel complexe de dimension finie.
Montrer que {\dim\mathbb{C}[v]=\deg\pi_v}.
Montrer que {\dim\mathbb{C}[v]=\deg\pi_v}.
Q18. On revient au cas diagonalisable, avec {\pi_u=\prod\limits_{i=1}^m(X-\lambda_i)}.
Montrer que {(p_1,\ldots,p_m)} est une base de {\mathbb{C}[u]}.
Montrer que {(p_1,\ldots,p_m)} est une base de {\mathbb{C}[u]}.
Q19. Si {u} n’est pas diagonalisable, la famille de ses projecteurs associés est-elle toujours une base de {\mathbb{C}[u]} ?
Q20. Si {u} est diagonalisable, ses projecteurs associés vérifient {u^q=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i^qp_i} pour tout {q\in\mathbb{N}}.
On étudie une réciproque.
Supposons qu’il existe des endomorphismes non nuls {f_1,\ldots,f_m} et des complexes distincts {\lambda_1,\ldots,\lambda_m} tels que :
{\forall q\in\mathbb{N},\qquad u^q=\sum_{i=1}^m\lambda_i^qf_i.}Démontrer que {u} est diagonalisable.
On étudie une réciproque.
Supposons qu’il existe des endomorphismes non nuls {f_1,\ldots,f_m} et des complexes distincts {\lambda_1,\ldots,\lambda_m} tels que :
{\forall q\in\mathbb{N},\qquad u^q=\sum_{i=1}^m\lambda_i^qf_i.}Démontrer que {u} est diagonalisable.