EPITA–IPSA–ESME 2023 — Option Mathématiques
MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI
Pour tout entier {N\geq2}, on désigne par {\mathcal M_N(\mathbb K)} l’algèbre des matrices carrées d’ordre {N} à coefficients dans {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et par {I_N} la matrice identité d’ordre {N}.
La topologie de {\mathcal M_N(\mathbb K)} est définie à l’aide de l’une quelconque de ses normes équivalentes.
L’objet de ce problème est l’étude, pour toute matrice {M\in\mathcal M_N(\mathbb K)}, de la convergence et de la limite éventuelle de la suite géométrique matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}}, associant à tout entier naturel {k} la matrice {M^k}.
Partie I — Exemples de suites géométriques matricielles
1°) Cas où la suite {(M^k)_{k\in\mathbb N}} est constante pour {k\geq1}
1°) a) Étant donnée une matrice {M\in\mathcal M_N(\mathbb R)}, établir que la suite géométrique matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}} est constante pour {k\geq1} si et seulement si {M} est une matrice de projection.
1°) b) En déduire que toute matrice de projection {M} est limite d’une suite géométrique matricielle.
2°) Étude de la suite {(M^k)_{k\in\mathbb N}} lorsque {M} est orthogonale
Dans cette question, on suppose que {M} est une matrice orthogonale appartenant à {\mathcal O_N(\mathbb R)}.
2°) a) Montrer que le groupe orthogonal {\mathcal O_N(\mathbb R)} est une partie fermée de {\mathcal M_N(\mathbb R)}.
2°) b) On suppose que la suite matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}} converge vers une matrice {L}.
Montrer que {L} est inversible et, en considérant la suite {(M^{k+1})_{k\in\mathbb N}}, que {ML=LM=L}. En déduire les matrices {M} et {L}.
Montrer que {L} est inversible et, en considérant la suite {(M^{k+1})_{k\in\mathbb N}}, que {ML=LM=L}. En déduire les matrices {M} et {L}.
2°) c) Quelles sont les suites géométriques matricielles {(M^k)_{k\in\mathbb N}} convergentes lorsque {M\in\mathcal O_N(\mathbb R)} ?
3°) Étude de la suite {(M^k)_{k\in\mathbb N}} lorsque {M} est antisymétrique
On note {\mathcal A_N(\mathbb R)} et {\mathcal S_N(\mathbb R)} les sous-espaces des matrices antisymétriques et symétriques de {\mathcal M_N(\mathbb R)}.
Dans cette question, on suppose que {M\in\mathcal A_N(\mathbb R)}.
3°) a) Montrer que {\mathcal A_N(\mathbb R)} et {\mathcal S_N(\mathbb R)} sont des parties fermées de {\mathcal M_N(\mathbb R)}.
3°) b) Étudier, selon la parité de l’entier naturel {k}, l’appartenance de {M^k} à {\mathcal S_N(\mathbb R)} ou à {\mathcal A_N(\mathbb R)}.
3°) c) On suppose que la suite matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}} converge vers une matrice {L}. Déterminer {L}.
4°) Étude de la suite {(M^k)_{k\in\mathbb N}} lorsque {M} est symétrique
Dans cette question, on suppose que {M\in\mathcal S_N(\mathbb R)}.
4°) a) Justifier l’existence d’une matrice inversible {P\in GL_N(\mathbb R)} et de réels {\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_N} tels que :
{P^{-1}MP=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\[4pt]0&\lambda_2&\ddots&\vdots\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&0\\[4pt]0&\cdots&0&\lambda_N\end{array}\right).}
{P^{-1}MP=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\[4pt]0&\lambda_2&\ddots&\vdots\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&0\\[4pt]0&\cdots&0&\lambda_N\end{array}\right).}
4°) b) En déduire à quelles conditions nécessaires et suffisantes portant sur les valeurs propres de {M} la suite matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}} est convergente ; on notera alors {L} sa limite.
Préciser dans ce cas sa limite {L} sous la forme {PDP^{-1}}, en explicitant {D} à l’aide de l’entier {r} égal à l’ordre de multiplicité de {1} si {1} est valeur propre de {M}, et à {0} sinon.
Indiquer enfin la nature géométrique de {L}.
Préciser dans ce cas sa limite {L} sous la forme {PDP^{-1}}, en explicitant {D} à l’aide de l’entier {r} égal à l’ordre de multiplicité de {1} si {1} est valeur propre de {M}, et à {0} sinon.
Indiquer enfin la nature géométrique de {L}.
5°) Étude de la suite {((\lambda I_N+U)^k)_{k\in\mathbb N}} lorsque {U} est nilpotente et {|\lambda|\lt1}
Dans cette question, {U\in\mathcal M_N(\mathbb C)} est nilpotente, d’indice de nilpotence {p} : {U^{p-1}\neq0} et {U^p=0}. On suppose que {\lambda\in\mathbb C} vérifie {|\lambda|\lt1}.
5°) a) Montrer, si {\|\cdot\|} désigne une norme sur {\mathcal M_N(\mathbb C)}, que, pour tout {k\geq p} :
{\begin{array}{l}\|(\lambda I_N+U)^k\|\\[4pt]\qquad\leq\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\binom{k}{i}|\lambda|^{k-i}\|U^i\|.\end{array}}
{\begin{array}{l}\|(\lambda I_N+U)^k\|\\[4pt]\qquad\leq\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\binom{k}{i}|\lambda|^{k-i}\|U^i\|.\end{array}}
5°) b) En déduire la limite de la suite matricielle {((\lambda I_N+U)^k)_{k\in\mathbb N}}.
Partie II — Convergence et limite d’une suite géométrique matricielle
6°) Recherche de la limite éventuelle d’une suite géométrique matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}}
Dans toute cette question, on suppose que {M\in\mathcal M_N(\mathbb K)} est quelconque et que {(M^k)_{k\in\mathbb N}} converge vers une matrice {L\in\mathcal M_N(\mathbb K)}.
6°) a) Examiner la limite de la suite {(M^{2k})_{k\in\mathbb N}} et en déduire que {L^2=L}. Qu’en conclut-on ?
6°) b) On considère un vecteur {y\in\ker(M-I_N)\cap\operatorname{Im}(M-I_N)}.
— Justifier l’existence d’un vecteur {x\in\mathbb K^N} tel que {y=Mx-x} et montrer que, pour tout {k\in\mathbb N} :
{ky=M^kx-x.}— En déduire, si {\mathcal M_N(\mathbb K)} est muni d’une norme {\lVert\!\lvert\cdot\rvert\!\rVert} subordonnée à une norme {\|\cdot\|} de {\mathbb K^N}, que :
{k\|y\|\leq\lVert\!\lvert M^k\rvert\!\rVert\|x\|+\|x\|.}— En déduire que {y=0}, puis que :
{\ker(M-I_N)\cap\operatorname{Im}(M-I_N)=\{0\}.}— Établir enfin l’égalité :
{\mathbb K^N=\ker(M-I_N)\oplus\operatorname{Im}(M-I_N).}
— Justifier l’existence d’un vecteur {x\in\mathbb K^N} tel que {y=Mx-x} et montrer que, pour tout {k\in\mathbb N} :
{ky=M^kx-x.}— En déduire, si {\mathcal M_N(\mathbb K)} est muni d’une norme {\lVert\!\lvert\cdot\rvert\!\rVert} subordonnée à une norme {\|\cdot\|} de {\mathbb K^N}, que :
{k\|y\|\leq\lVert\!\lvert M^k\rvert\!\rVert\|x\|+\|x\|.}— En déduire que {y=0}, puis que :
{\ker(M-I_N)\cap\operatorname{Im}(M-I_N)=\{0\}.}— Établir enfin l’égalité :
{\mathbb K^N=\ker(M-I_N)\oplus\operatorname{Im}(M-I_N).}
6°) c) Pour tout {x\in\mathbb K^N}, justifier l’existence de vecteurs {x_1\in\ker(M-I_N)} et {x_2\in\mathbb K^N} tels que {x=x_1+Mx_2-x_2}, puis montrer que, pour tout entier naturel {k} :
{M^kx=x_1+M^{k+1}x_2-M^kx_2.}En déduire que {Lx=Px}, où {P} est la matrice de la projection sur {\ker(M-I_N)} dans la direction de {\operatorname{Im}(M-I_N)}.
Qu’en déduit-on sur la limite {L} ? Que dire de plus si {1} n’est pas valeur propre de {M} ?
{M^kx=x_1+M^{k+1}x_2-M^kx_2.}En déduire que {Lx=Px}, où {P} est la matrice de la projection sur {\ker(M-I_N)} dans la direction de {\operatorname{Im}(M-I_N)}.
Qu’en déduit-on sur la limite {L} ? Que dire de plus si {1} n’est pas valeur propre de {M} ?
7°) Conditions nécessaires de convergence d’une suite géométrique matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}}
Dans toute cette question, on suppose que {M\in\mathcal M_N(\mathbb C)} est quelconque et que {(M^k)_{k\in\mathbb N}} converge vers une matrice {L\in\mathcal M_N(\mathbb C)}.
7°) a) Soient {\lambda} une valeur propre de {M} et {x\in\mathbb C^N} un vecteur propre associé.
Établir, pour tout entier naturel {k}, l’égalité {M^kx=\lambda^kx}, et en déduire que la suite {(\lambda^k)} converge.
En déduire quelles sont les valeurs possibles des valeurs propres de {M}.
Établir, pour tout entier naturel {k}, l’égalité {M^kx=\lambda^kx}, et en déduire que la suite {(\lambda^k)} converge.
En déduire quelles sont les valeurs possibles des valeurs propres de {M}.
7°) b) On suppose que {1} est valeur propre de {M} et on désigne par {r\geq1} son ordre de multiplicité.
— On considère un vecteur {x\in\ker((M-I_N)^2)}. Montrer que {y=Mx-x} appartient à {\ker(M-I_N)\cap\operatorname{Im}(M-I_N)} et que {y=0}.
En déduire que {\ker(M-I_N)=\ker((M-I_N)^2)}, puis que, pour tout {k\geq1} :
{\ker(M-I_N)=\ker((M-I_N)^k).}— En déduire l’égalité des sous-espaces propre et caractéristique de {M} associés à la valeur propre {1}, autrement dit :
{\ker(M-I_N)=\ker((M-I_N)^r),}puis l’égalité {\dim\ker(M-I_N)=r}.
— On considère un vecteur {x\in\ker((M-I_N)^2)}. Montrer que {y=Mx-x} appartient à {\ker(M-I_N)\cap\operatorname{Im}(M-I_N)} et que {y=0}.
En déduire que {\ker(M-I_N)=\ker((M-I_N)^2)}, puis que, pour tout {k\geq1} :
{\ker(M-I_N)=\ker((M-I_N)^k).}— En déduire l’égalité des sous-espaces propre et caractéristique de {M} associés à la valeur propre {1}, autrement dit :
{\ker(M-I_N)=\ker((M-I_N)^r),}puis l’égalité {\dim\ker(M-I_N)=r}.
8°) Conditions suffisantes de convergence d’une suite géométrique matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}}
8°) a) On considère un {\mathbb C}-espace vectoriel {E} de dimension finie et un endomorphisme {f} de {E} dont {\lambda} est une valeur propre d’ordre de multiplicité {r}.
— Montrer que le sous-espace caractéristique {F=\ker((f-\lambda\operatorname{Id}_E)^r)} est stable par {f}.
— On note alors {\widetilde f} et {\widetilde{\operatorname{Id}}_E} les endomorphismes induits par {f} et {\operatorname{Id}_E} sur {F}.
Montrer que {\widetilde f-\lambda\widetilde{\operatorname{Id}}_E} est nilpotent, de sorte que {\widetilde f=\lambda\operatorname{Id}_F+u}, où {u\in\mathcal L(F)} est nilpotent.
— Montrer que le sous-espace caractéristique {F=\ker((f-\lambda\operatorname{Id}_E)^r)} est stable par {f}.
— On note alors {\widetilde f} et {\widetilde{\operatorname{Id}}_E} les endomorphismes induits par {f} et {\operatorname{Id}_E} sur {F}.
Montrer que {\widetilde f-\lambda\widetilde{\operatorname{Id}}_E} est nilpotent, de sorte que {\widetilde f=\lambda\operatorname{Id}_F+u}, où {u\in\mathcal L(F)} est nilpotent.
8°) b) Dans cette question, on note {M\in\mathcal M_N(\mathbb C)} une matrice dont les valeurs propres distinctes {\lambda_1,\ldots,\lambda_p}, de multiplicités respectives {r_1,\ldots,r_p}, sont de module strictement inférieur à {1}.
Son polynôme caractéristique s’écrit donc :
{\begin{array}{rl}\chi_M(X)&=\det(XI_N-M)\\[4pt]&=\displaystyle\prod_{i=1}^p(X-\lambda_i)^{r_i}.\end{array}}— Justifier l’égalité :
{\mathbb C^N=\bigoplus_{i=1}^p\ker((M-\lambda_iI_N)^{r_i}).}— Justifier l’existence de {P\in GL_N(\mathbb C)} telle que {P^{-1}MP} soit diagonale par blocs, de blocs diagonaux :
{\lambda_1I_{r_1}+N_1,\quad\ldots,\quad\lambda_pI_{r_p}+N_p,}où les {I_{r_i}} sont les matrices identités de tailles respectives {r_i}, et les {N_i} sont des matrices nilpotentes de tailles respectives {r_i}.
— En déduire dans ce cas la limite de la suite géométrique {(M^k)_{k\in\mathbb N}} lorsque {k} tend vers {+\infty}.
Son polynôme caractéristique s’écrit donc :
{\begin{array}{rl}\chi_M(X)&=\det(XI_N-M)\\[4pt]&=\displaystyle\prod_{i=1}^p(X-\lambda_i)^{r_i}.\end{array}}— Justifier l’égalité :
{\mathbb C^N=\bigoplus_{i=1}^p\ker((M-\lambda_iI_N)^{r_i}).}— Justifier l’existence de {P\in GL_N(\mathbb C)} telle que {P^{-1}MP} soit diagonale par blocs, de blocs diagonaux :
{\lambda_1I_{r_1}+N_1,\quad\ldots,\quad\lambda_pI_{r_p}+N_p,}où les {I_{r_i}} sont les matrices identités de tailles respectives {r_i}, et les {N_i} sont des matrices nilpotentes de tailles respectives {r_i}.
— En déduire dans ce cas la limite de la suite géométrique {(M^k)_{k\in\mathbb N}} lorsque {k} tend vers {+\infty}.
8°) c) Dans cette question, on note {M\in\mathcal M_N(\mathbb C)} une matrice dont les valeurs propres distinctes sont :
— {\lambda_1=1}, de multiplicité {r_1}, avec {\dim\ker(M-I_N)=r_1} ;
— {\lambda_2,\ldots,\lambda_p}, de multiplicités {r_2,\ldots,r_p}, toutes de module strictement inférieur à {1}.
Son polynôme caractéristique s’écrit :
{\chi_M(X)=(X-1)^{r_1}\prod_{i=2}^p(X-\lambda_i)^{r_i}.}— Justifier l’égalité :
{\begin{array}{rl}\mathbb C^N&=\ker(M-I_N)\\[4pt]&\quad\oplus\displaystyle\bigoplus_{i=2}^p\ker((M-\lambda_iI_N)^{r_i}).\end{array}}— En raisonnant comme ci-dessus, préciser dans ce cas la limite de la suite géométrique {(M^k)_{k\in\mathbb N}}.
— {\lambda_1=1}, de multiplicité {r_1}, avec {\dim\ker(M-I_N)=r_1} ;
— {\lambda_2,\ldots,\lambda_p}, de multiplicités {r_2,\ldots,r_p}, toutes de module strictement inférieur à {1}.
Son polynôme caractéristique s’écrit :
{\chi_M(X)=(X-1)^{r_1}\prod_{i=2}^p(X-\lambda_i)^{r_i}.}— Justifier l’égalité :
{\begin{array}{rl}\mathbb C^N&=\ker(M-I_N)\\[4pt]&\quad\oplus\displaystyle\bigoplus_{i=2}^p\ker((M-\lambda_iI_N)^{r_i}).\end{array}}— En raisonnant comme ci-dessus, préciser dans ce cas la limite de la suite géométrique {(M^k)_{k\in\mathbb N}}.
8°) d) On reprend les hypothèses et les notations de la question c).
— Montrer, pour {2\leq k\leq p}, l’inclusion :
{\ker((M-\lambda_kI_N)^{r_k})\subset\operatorname{Im}(M-I_N).}On pourra, si {x\in\ker((M-\lambda_kI_N)^{r_k})}, considérer l’égalité :
{(M-I_N+(1-\lambda_k)I_N)^{r_k}x=0.}— En déduire l’égalité :
{\bigoplus_{k=2}^p\ker((M-\lambda_kI_N)^{r_k})=\operatorname{Im}(M-I_N).}— À l’aide des résultats précédents de la question 8, retrouver alors le résultat de la question 6°) c).
— Montrer, pour {2\leq k\leq p}, l’inclusion :
{\ker((M-\lambda_kI_N)^{r_k})\subset\operatorname{Im}(M-I_N).}On pourra, si {x\in\ker((M-\lambda_kI_N)^{r_k})}, considérer l’égalité :
{(M-I_N+(1-\lambda_k)I_N)^{r_k}x=0.}— En déduire l’égalité :
{\bigoplus_{k=2}^p\ker((M-\lambda_kI_N)^{r_k})=\operatorname{Im}(M-I_N).}— À l’aide des résultats précédents de la question 8, retrouver alors le résultat de la question 6°) c).
8°) e) À quelles conditions nécessaires et suffisantes sur {M\in\mathcal M_N(\mathbb C)} la suite géométrique matricielle {(M^k)_{k\in\mathbb N}} est-elle convergente, et que peut-on dire de sa limite ?