2023-Epita-MpPcPsi-corrigé

EPITA–IPSA–ESME 2023 — Mathématiques — MP, MPI, PC, PSI

Notations
Soit {I} un intervalle de {\mathbb R} et {n\in\mathbb N}.
{\mathcal C^n(I)} désigne l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^n} sur {I} et à valeurs dans {\mathbb R} ; {\mathcal C^{n,pm}(I)} désigne l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^n} par morceaux sur {I} et à valeurs dans {\mathbb R}.
{\mathcal C^n_{2\pi}} désigne l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^n} sur {\mathbb R}, {2\pi}-périodiques et à valeurs dans {\mathbb R} ; {\mathcal C^{n,pm}_{2\pi}} désigne l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal C^n} par morceaux sur {\mathbb R}, {2\pi}-périodiques et à valeurs dans {\mathbb R}.
Pour toute fonction {f\in\mathcal C^{n,pm}_{2\pi}}, on définit sa régularisée {\widetilde f} par, pour tout {x\in\mathbb R} :
{\widetilde f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x-h)}2.}On pourra dire qu’une fonction est normalisée lorsqu’elle sera confondue avec sa régularisée. L’ensemble des fonctions normalisées de {\mathcal C^{n,pm}_{2\pi}} sera noté {\widetilde{\mathcal C}^{n,pm}_{2\pi}}.

1 — Projection sur l’espace des polynômes trigonométriques

On considère l’application {\langle\cdot,\cdot\rangle} définie, pour {f,g\in\mathcal C^{0,pm}(\mathbb R)}, par :
{\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,\mathrm dt.}

On munit {\widetilde{\mathcal C}^{0,pm}_{2\pi}} du produit scalaire {\langle\cdot,\cdot\rangle}. On note {\|\cdot\|_2} la norme associée, définie par {\|f\|_2=\sqrt{\langle f,f\rangle}}.
Pour tout {n\in\mathbb N}, on définit les fonctions {c_n:t\mapsto\cos(nt)} et {s_n:t\mapsto\sin(nt)}.
On pose, pour tout {n\in\mathbb N} :
{F_n=\operatorname{Vect}(c_0,c_1,\ldots,c_n,s_1,\ldots,s_n).}

2 — Coefficients et série de Fourier

Soit {f\in\mathcal C^{0,pm}_{2\pi}}. On définit les coefficients de Fourier de {f} par :
{\begin{array}{ll}a_n(f)=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt,&n\in\mathbb N,\\[4pt]b_n(f)=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)\,\mathrm dt,&n\in\mathbb N^*.\end{array}}On définit également {S(f)}, la série de Fourier de {f}, par, pour tout {x\in\mathbb R} :
{\begin{array}{rl}S(f)(x)&=\dfrac{a_0(f)}2\\[4pt]&\quad+\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\bigl(a_k(f)\cos(kx)\\[4pt]&\qquad+b_k(f)\sin(kx)\bigr).\end{array}}Pour tout {n\in\mathbb N}, la somme partielle {S_n(f)} est définie sur {\mathbb R} par :
{\begin{array}{rl}S_n(f)(x)&=\dfrac{a_0(f)}2\\[4pt]&\quad+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigl(a_k(f)\cos(kx)\\[4pt]&\qquad+b_k(f)\sin(kx)\bigr).\end{array}}

3 — Intégrale de Dirichlet

Pour tout {n\in\mathbb N}, on définit :
{\begin{array}{l}I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}\,\mathrm dt,\\[4pt]J_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)t)}{t}\,\mathrm dt.\end{array}}

4 — Théorème de Dirichlet

On fixe dans cette partie {x\in\mathbb R} et {f\in\mathcal C^{1,pm}_{2\pi}}.

On admet, pour la question 18 uniquement, le lemme de Riemann–Lebesgue : pour toute fonction {g\in\mathcal C^{0,pm}([a,b])},
{\lim_{y\to+\infty}\int_a^b g(t)e^{iyt}\,\mathrm dt=0.}

5 — Étude d’une fonction auxiliaire

On définit à présent :
{\begin{array}{l}F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{1+t^2}\,\mathrm dt,\\[4pt]G(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t\sin(xt)}{(1+t^2)^2}\,\mathrm dt,\\[4pt]H(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{(1+t^2)^2}\,\mathrm dt.\end{array}}

6 — Un développement en série de Fourier

Soient {a>0} et {f} la fonction définie, pour tout {x\in\mathbb R}, par :
{f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f_n(x),}où, pour tout {n\in\mathbb Z} :
{f_n(x)=\frac1{(x+2n\pi)^2+4a^2}.}