2023-Ens-MpD-corrigé

Écoles normales supérieures — Concours 2023

Mathématiques D (U) — Filière MP

Notations et conventions
Tous les anneaux considérés sont commutatifs et possèdent une unité, notée {1}.
Les morphismes d’anneaux préservent cette unité.
On pose {x^0=1} pour tout {x}, y compris {x=0}.
Un anneau {A} est intègre s’il n’est pas réduit à {\{0\}} et si {xy=0} implique {x=0} ou {y=0}.
Il se plonge alors dans son corps des fractions {\operatorname{Frac}A}.
L’anneau {\mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_n]} est supposé connu et intègre.
Un polynôme s’y écrit de manière unique comme une somme finie de monômes {aX_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}}, avec {a\in\mathbb{Z}} et {(i_1,\ldots,i_n)\in\mathbb{N}^n}.
Cette écriture permet d’évaluer les polynômes à coefficients entiers sur tout anneau commutatif.
On note {M_{r,s}(A)} le groupe additif des matrices à {r} lignes et {s} colonnes, {M_n(A)=M_{n,n}(A)} et {I_n} la matrice identité.
Pour {M\in M_n(A)}, on note {\widetilde M} la transposée de sa comatrice.
Sur un corps, on rappelle les identités :
{\begin{array}{l}M\widetilde M=\widetilde MM=(\det M)I_n,\\[4pt]\det(MN)=\det M\det N.\end{array}}Si {E} est un espace vectoriel sur un corps, {E^\vee} désigne son dual.
Pour {F\subset E^\vee} un sous-espace, on pose {F^\perp=\{x\in E:\forall u\in F,\ u(x)=0\}}.
Un groupe abélien {M} a la propriété (F) s’il est engendré par une partie finie de {M}.
Un anneau a (F) si son groupe additif a cette propriété.
Pour une partie {S} d’un anneau {A}, on note {\mathcal A(S)} le sous-anneau des expressions polynomiales à coefficients entiers en un nombre fini d’éléments de {S}.
Un anneau {A} a la propriété (TF) s’il existe une partie finie {S\subset A} telle que {A=\mathcal A(S)}.
On peut toujours ajouter {0} à une famille génératrice ; les familles utilisées ci-dessous pourront donc être prises non vides.
Les sous-anneaux contiennent l’unité de l’anneau ambiant.
Les parties I et II étudient ces propriétés de finitude.
Les parties III et IV les appliquent aux matrices sur un anneau commutatif.
La partie V, indépendante, étudie la dimension des espaces de matrices de rang borné.
Les parties sont largement indépendantes ; il est permis d’admettre un résultat pour traiter une question ultérieure.

Partie I — Exemples et contre-exemples pour (F) et (TF)

Partie II — Comportement de (F) et (TF) vis-à-vis des morphismes

2. Soient {B} un anneau commutatif, {n\geqslant1} et {b_1,\ldots,b_n\in B}.

3. Soit {M} un sous-groupe additif de {\mathbb{Z}^n}, avec {n\in\mathbb{N}} ; {\mathbb{Z}^0} désigne le groupe trivial.
On veut montrer par récurrence :
(*) Il existe {r\in\mathbb{N}} tel que {M} soit isomorphe à {\mathbb{Z}^r}.

5. Dans {A=\mathbb{Z}[X,Y]}, on pose {U=\{XY^k:k\in\mathbb{N}\}} et {B=\mathcal A(U)}.
Soit {S} une partie finie de {B}.

Partie III — Déterminants sur un anneau commutatif

Dans cette partie, {A} est un anneau commutatif et {A^*} est le groupe multiplicatif de ses éléments inversibles.

2. Soit {M\in M_n(A)}.
On veut généraliser à tout anneau commutatif les deux identités rappelées dans l’introduction pour un corps.

3. Soient {r,s\geqslant1}, {M\in M_{s,r}(A)} et {u:A^r\to A^s}, {X\mapsto MX}.
On suppose {u} surjective et {A\neq\{0\}}.
On veut montrer {r\geqslant s} ; on raisonne par l’absurde en supposant {r\lt s}.

Partie IV — Équivalence de matrices sur {\mathbb{Z}} et {\mathbb{C}}

Soient {r,s\geqslant1} et {A} un anneau commutatif non nul.
On note {GL_r(A)} l’ensemble des matrices vérifiant les propriétés équivalentes de III.3d.
Précision. Le renvoi imprimé « II.3.d » désigne bien III.3d.

On dit alors que {M,N} sont {A}-équivalentes.
Pour {M\in M_{s,r}(\mathbb{Z})} et {1\leqslant k\leqslant\min(r,s)}, on note {m_k(M)} le pgcd, choisi positif ou nul, de tous les mineurs de taille {k}.
Le pgcd d’une famille de mineurs tous nuls est {0}.
Si l’on considère également {k=0}, le mineur vide vaut {1} et l’invariance correspondante est immédiate.

Partie V — Sous-espaces de matrices de petit rang

Soient {r,m\geqslant1} avec {r\leqslant m}.
On considère un sous-espace {V\subset M_m(\mathbb{C})} dont tout élément a un rang au plus égal à {r}.
Le but est de montrer :
{\dim V\leqslant mr.}

Dans la suite, on fait l’hypothèse {A\in V} obtenue à la question 1.

3. On note {W} l’intersection de {V} avec l’espace des matrices de la forme :
{\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]B_{21}&0\end{pmatrix}.}On définit l’application linéaire {\varphi:M_m(\mathbb{C})\to M_{r,m}(\mathbb{C})} par :
{\begin{array}{l}\displaystyle\varphi\left(\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\[4pt]B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}\right)\\[8pt]\qquad=(B_{11}\ \ B_{12}).\end{array}}