Écoles normales supérieures — Concours 2023
Mathématiques C (ULSR) — Filières MP et MPI
Définitions et notations
Soit {d\in\mathbb{N}^\star}. Une partie d’un espace vectoriel normé est relativement compacte si elle est incluse dans un compact.
Sur {\mathbb{R}^d}, on utilise le produit scalaire usuel {\langle x,y\rangle=\sum\limits_{i=1}^dx_iy_i} et la norme associée {\|\cdot\|}.
Pour un compact {K\subset\mathbb{R}^n}, on munit {C(K,\mathbb{R}^d)} de la norme {\|f\|_\infty=\sup_{x\in K}\|f(x)\|}.
Une partie {A} de cet espace est équicontinue en {x\in K} si :
{\begin{array}{l}\forall\varepsilon>0,\ \exists r>0,\\[4pt]\forall f\in A,\ \forall y\in K\cap B(x,r),\\[4pt]\|f(x)-f(y)\|\leqslant\varepsilon.\end{array}}Elle est équicontinue si elle l’est en tout point de {K}.
Précision de lecture. Dans la définition imprimée, il faut comprendre {y\in K\cap B(x,r)} : les fonctions ne sont définies que sur {K}.
On s’intéresse au problème de Cauchy :
{\begin{array}{ll}y'(t)=F(y(t)),\\[4pt]y(0)=y_{\mathrm{init}}.\end{array}\qquad(1)}Ici, {\Omega} est un ouvert de {\mathbb{R}^d}, {F:\Omega\to\mathbb{R}^d} et {y_{\mathrm{init}}\in\Omega}.
Une solution est un couple {(\varphi,T)}, avec {T\in]0,+\infty]} et {\varphi:[0,T[\to\mathbb{R}^d} dérivable, à valeurs dans {\Omega}, vérifiant (1). En {0}, la dérivée est prise à droite.
Elle est maximale si elle ne se prolonge pas en une solution sur un intervalle {[0,T'[} avec {T'>T}. Elle est globale lorsque {T=+\infty}.
On admet que toute solution peut être prolongée en une solution maximale.
Les parties I et II sont indépendantes ; la partie IV est indépendante des autres parties.
I — Premiers exemples
On admet dans cette partie que les équations proposées admettent une unique solution, globale. On prend {d=1}, {a,\theta>0} et {0\lt y_{\mathrm{init}}\lt \theta}.
1. On considère, pour {y>0} :
{F_0(y)=ay\ln\left(\frac\theta y\right).}On note {\varphi_0} la solution du problème de Cauchy sur {[0,+\infty[}.
1. (a) Montrer qu’il existe {\varepsilon>0} tel que, pour tout {t\in]0,\varepsilon]}, on ait {y_{\mathrm{init}}\lt \varphi_0(t)\lt \theta}.
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1. (b) En considérant {z_0(t)=\ln(\varphi_0(t)/\theta)}, trouver l’expression de {\varphi_0}.
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1. (c) En déduire que {y_{\mathrm{init}}\lt \varphi_0(t)\lt \theta} pour tout {t>0} et que {\varphi_0} est strictement croissante.
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2. Pour {0\lt \mu\leqslant1}, on considère, pour {y>0} :
{F_\mu(y)=\frac a\mu y\left(1-\left(\frac y\theta\right)^\mu\right).}En considérant {z_\mu(t)=\varphi_\mu(t)^{-\mu}}, trouver l’expression de la solution {\varphi_\mu} sur {[0,+\infty[} associée à {F_\mu}.
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3. (a) Montrer que {F_\mu} converge simplement vers {F_0} lorsque {\mu} tend vers {0}.
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3. (b) Montrer que {\varphi_\mu} converge simplement vers {\varphi_0} lorsque {\mu} tend vers {0}.
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II — Un théorème de compacité
Dans cette partie, {K} est un compact de {\mathbb{R}} et {C(K,\mathbb{R}^d)} est muni de la norme uniforme.
1. Soit {k>0} et {B} l’ensemble des fonctions de {K} dans {\mathbb{R}^d} qui sont {k}-lipschitziennes. Montrer que {B} est équicontinue.
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Soit
{A\subset C(K,\mathbb{R}^d)}. On veut démontrer le résultat suivant.
Théorème 1. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(P1) {A} est relativement compacte.
(P2) {A} est équicontinue et, pour tout
{x\in K}, l’ensemble
{A(x)=\{f(x):f\in A\}} est borné.
2. Montrer que {A} est relativement compacte si et seulement si toute suite {(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}}} admet une sous-suite qui converge uniformément vers une limite {f\in C(K,\mathbb{R}^d)}.
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3. En raisonnant par l’absurde, montrer que si {A} est relativement compacte, alors {A} est équicontinue.
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4. Montrer que {(P1)\Rightarrow(P2)}.
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On suppose maintenant que
{A} vérifie (P2). Soit
{(f_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite d’éléments de
{A}.
5. Soit
{(x_p)_{p\geqslant0}} une suite d’éléments de
{K}.
5. (a) Montrer qu’il existe une suite {(\varphi_p)_{p\in\mathbb{N}}} de fonctions strictement croissantes de {\mathbb{N}} dans {\mathbb{N}} telle que {f_{\psi_p(n)}(x_p)} converge lorsque {n\to+\infty}, où {\psi_0=\varphi_0} et {\psi_p=\psi_{p-1}\circ\varphi_p} pour {p\geqslant1}.
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5. (b) Montrer que, pour tout {p\geqslant0}, {f_{\psi_n(n)}(x_p)} converge lorsque {n\to+\infty}.
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6. (a) Montrer que l’on peut extraire de {(f_n)} une sous-suite qui converge simplement sur {\mathbb{Q}\cap K}. On notera {(g_n)} cette extraction.
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6. (b) Pour {x\in K}, montrer que {(g_n(x))} admet une unique valeur d’adhérence, notée {g(x)}, et conclure sur la convergence simple de {(g_n)} sur {K} vers {g}.
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7. (a) Montrer que {g} est continue sur {K}.
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7. (b) Montrer que {(g_n)} converge uniformément vers {g} sur {K}. On pourra raisonner par l’absurde.
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7. (c) En déduire que {(P2)\Rightarrow(P1)}.
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III — Existence de solutions
On suppose {F} continue et {y_{\mathrm{init}}\in\Omega}. Pour {r\geqslant0}, on note {B_r} la boule fermée de centre {y_{\mathrm{init}}} et de rayon {r}.
1. Montrer que l’on peut choisir {r>0} et {T>0} tels que {B_r\subset\Omega} et que, pour tout {N\in\mathbb{N}^\star}, on puisse définir par récurrence, en posant {\Delta t=T/N}, une suite {(y_n)_{0\leqslant n\leqslant N}} à valeurs dans {B_r} telle que :
{\begin{array}{l}y_0=y_{\mathrm{init}},\\[4pt]y_{n+1}=y_n+\Delta tF(y_n),\\[4pt]0\leqslant n\leqslant N-1.\end{array}}
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2. Montrer que l’on peut construire une unique fonction {\varphi_N} continue sur {[0,T]}, affine sur chaque intervalle {[n\Delta t,(n+1)\Delta t]}, pour {0\leqslant n\lt N}, et telle que {\varphi_N(n\Delta t)=y_n} pour {0\leqslant n\leqslant N}.
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3. Montrer, à l’aide du théorème 1, qu’il existe une sous-suite de {(\varphi_N)} qui converge uniformément sur {[0,T]} vers une fonction continue {\varphi}.
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4. Montrer que l’on peut définir des fonctions en escalier {\psi_N:[0,T]\to\mathbb{R}^d}, égales à {\varphi_N} aux points {n\Delta t}, telles que, pour tout {t\in[0,T]} :
{\varphi_N(t)=y_{\mathrm{init}}+\int_0^tF(\psi_N(s))\,ds.}Préciser l’expression de {\psi_N}.
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5. En déduire qu’il existe une sous-suite de {(\psi_N)} qui converge uniformément sur {[0,T]} et préciser sa limite.
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6. Montrer que {(\varphi,T)} est solution du problème de Cauchy (1) et en déduire le théorème suivant.
Théorème 2. Si {F} est continue, alors il existe au moins une solution du problème de Cauchy (1).
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7. Pour {d=1}, on pose {F(y)=3|y|^{2/3}} sur {\mathbb{R}} et {y_{\mathrm{init}}=0}. Montrer que le problème admet une infinité de solutions globales.
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IV — Inclusions différentielles
On considère {\mathcal F:\mathbb{R}^d\to\mathcal P_c(\mathbb{R}^d)}, où {\mathcal P_c(\mathbb{R}^d)} désigne l’ensemble des parties compactes de {\mathbb{R}^d}. Le problème devient :
{\begin{array}{l}y'(t)\in\mathcal F(y(t)),\\[4pt]y(0)=y_{\mathrm{init}}.\end{array}\qquad(2)}Une solution {(\varphi,T)} est définie sur {[0,T[}, avec {T\in]0,+\infty]}. Il existe une subdivision finie {0=t_0\lt \cdots\lt t_N=T} telle que :
(i) {\varphi} est continue sur {[0,T[}.
(ii) Elle est {C^1} sur chaque {]t_i,t_{i+1}[} ; sa dérivée admet une limite à droite en {t_i} et, si {i\neq0}, une limite à gauche en {t_i}.
(iii) Pour {t\in]t_i,t_{i+1}[}, on a {\varphi'(t)\in\mathcal F(\varphi(t))}.
(iv) Les limites unilatérales de la dérivée en {t_i} appartiennent à {\mathcal F(\varphi(t_i))}.
(v) {\varphi(0)=y_{\mathrm{init}}}.
On emploie les mêmes notions de solutions maximales et globales que précédemment.
1. Supposons que, pour tout compact {K\subset\mathbb{R}^d}, il existe {C_K>0} tel que, pour tous {x,y\in K}, {v_x\in\mathcal F(x)} et {v_y\in\mathcal F(y)} :
{\langle v_x-v_y,x-y\rangle\leqslant C_K\|x-y\|^2.\qquad(3)}Montrer que (2) admet au plus une solution maximale. On pourra étudier {\|X(t)-Y(t)\|^2} pour deux solutions {X,Y}.
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Dans la suite,
{d=2} et, pour
{x=(x_1,x_2)}, on pose :
{\mathcal{F}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\{v^-\}&x_1\lt 0,\\[6pt]\{v^+\}&x_1>0,\\[6pt][v_1^+,v_1^-]\times[v_2^+,v_2^-]&x_1=0.\end{array}\right.}Les vecteurs
{v^-=(v_1^-,v_2^-)} et
{v^+=(v_1^+,v_2^+)} sont supposés vérifier
{v_1^-\geqslant v_1^+} et
{v_2^-\geqslant v_2^+}.
2. On pose
{v^-=(1,2)} et
{v^+=(-1,2)}.
2. (a) Montrer que {\mathcal F} vérifie (3).
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2. (b) On choisit {y_{\mathrm{init}}=(0,0)}. Trouver toutes les solutions maximales de (2).
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2. (c) On choisit {y_{\mathrm{init}}=(1,0)}. Trouver toutes les solutions maximales de (2).
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On pose
{v^-=(0,1)} et
{v^+=(1,1)}.
Sur l’axe, on prend le segment
{[0,1]\times\{1\}}. Les valeurs hors de l’axe restent celles de l’énoncé.
3. (a) Montrer que {\mathcal F} ne vérifie pas (3).
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3. (b) On choisit {y_{\mathrm{init}}=(1,0)}. Trouver toutes les solutions maximales de (2).
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3. (c) On choisit {y_{\mathrm{init}}=(0,0)}. Trouver toutes les solutions maximales de (2).
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