2023-E3a-Pc-corrigé

E3A-Polytech 2023 — PC — Mathématiques

Les quatre exercices sont indépendants.

Exercice 1

Soient {E} un espace vectoriel réel de dimension {n\geq1} et {u\in\mathcal L(E)} tel que {u^2-3u+2\operatorname{id}_E=0.\qquad(\star)}

3. On pose {v=u-\alpha\operatorname{id}_E} et {w=u-\beta\operatorname{id}_E}.

5. Application. On suppose {\dim E=3} et l’on munit {E} d’une base {\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)} dans laquelle la matrice de {u} est {U=\begin{pmatrix}1&1&0\\[8pt]0&2&0\\[8pt]-1&1&2\end{pmatrix}.}

Exercice 2

Questions de cours

Dans la suite de cet exercice, {n} est un entier fixé supérieur ou égal à {2}.

3. Pour {k\in\mathbb N}, on pose {a_k=1-(1-2^{-k})^{n-1}} et, pour {k\geq1}, {u_k=a_{k-1}-a_k}.

4. Étude d’une variable aléatoire

5. Pour {t\in\mathbb R}, on pose {f_0(t)=0} et, pour {p\geq1}, {f_p(t)=1-(1-e^{-t})^p}.

6. Un encadrement

Exercice 3

Soit {E} un espace euclidien de dimension {n\geq2}. Pour {u\in E\setminus\{0\}}, on définit {\varphi_u(x)=2\frac{\langle x,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u-x.}

1. Étude de {\varphi_u}

2. Un exemple en dimension trois

Dans {\mathbb R^3} muni du produit scalaire canonique, on considère {H=\{(x,y,z):x+y+z=0\}}.

3. Étude d’une réciproque

Soit {\psi\in\mathcal L(E)}. On suppose qu’il existe une droite {\Delta} telle que {\psi(x)=x} sur {\Delta} et {\psi(x)=-x} sur {\Delta^\perp}.

Exercice 4

Pour {n\in\mathbb N} et {x\in\mathbb R}, on pose {I_n(x)=\int_0^1(1-t^2)^n\cos(tx)\,dt.}

On fixe désormais {n\in\mathbb N}.

5. Calcul de {I_n(0)}