Concours e3a-Polytech 2023 — Mathématiques — MP
Le sujet comporte quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Soit {n\geqslant1}.
On note {E_n=\mathbb{R}_n[X]} et {P_k=X^k} pour {k\in\{0,\ldots,n\}}.
Questions de cours
Soit {\alpha\in\mathbb{R}}.
1. Justifier que {\mathcal E=(1,X-\alpha,\ldots,(X-\alpha)^n)} est une base de {E_n}.
2. Soit {P\in E_n}.
Donner sans démonstration sa décomposition dans la base {\mathcal E} à l’aide de ses dérivées successives.
Donner sans démonstration sa décomposition dans la base {\mathcal E} à l’aide de ses dérivées successives.
3. On suppose que {\alpha} est une racine de {P} d’ordre {r\in\{1,\ldots,n\}}.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de {P} par {(X-\alpha)^r}.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de {P} par {(X-\alpha)^r}.
À tout {P\in E_n}, on associe :
{T(P)(X)=XP(X)-\frac1n(X^2-1)P'(X).}
4. Pour {k\in\{0,\ldots,n\}}, déterminer {T(P_k)}.
5. Montrer que {T} est un endomorphisme de {E_n}.
6. Écrire la matrice {M} de {T} dans la base {\mathcal B=(P_0,\ldots,P_n)}.
7. Soit {\lambda} une valeur propre réelle de {T}, et {P} un polynôme unitaire, vecteur propre associé à {\lambda}.
7.1. Montrer que {P} est de degré {n}.
7.2. Soit {z_0} une racine complexe de {P} de multiplicité {r\geqslant1}.
Prouver que {z_0^2-1=0}.
Prouver que {z_0^2-1=0}.
7.3. En déduire une expression de {P}.
8. Déterminer les éléments propres de {T}.
L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
Exercice 2
Questions de cours
1. Pour {a>0} et {b\in\mathbb{R}}, choisir sans justification l’expression correcte de {a^b} : (A) {e^{b\ln a}} ; (B) {e^{a\ln b}} ; (C) {e^{\ln a\ln b}}.
2. Soient {x\lt y} et {t\in]0,1[}.
Comparer {t^x} et {t^y}.
Comparer {t^x} et {t^y}.
3. Donner sans démonstration le développement en série entière de l’exponentielle réelle et son domaine de validité.
4. On définit {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}.
On admet qu’elle est définie pour {x>0} et vérifie {\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}.
Calculer {\Gamma(1)}, puis prouver par récurrence la valeur de {\Gamma(n+1)} pour {n\in\mathbb{N}}.
On admet qu’elle est définie pour {x>0} et vérifie {\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}.
Calculer {\Gamma(1)}, puis prouver par récurrence la valeur de {\Gamma(n+1)} pour {n\in\mathbb{N}}.
5. Pour {x\in\mathbb{R}}, on pose, lorsque cela a un sens :
{F(x)=\int_0^1t^{t^x}\,dt,}où {t^{t^x}} signifie {t^{(t^x)}}.
5.1. Déterminer l’ensemble de définition de {F}.
5.2. Déterminer le sens de variation de {F}.
5.3. Montrer que, pour tout réel {x\geqslant0}, {F(x)\geqslant1/2}.
5.4. Démontrer que {F} est continue sur son ensemble de définition.
5.5. Déterminer les limites de {F} en {+\infty} et en {-\infty}.
Citer précisément les théorèmes utilisés et vérifier leurs hypothèses.
Citer précisément les théorèmes utilisés et vérifier leurs hypothèses.
5.6. Dresser le tableau de variations de {F} et donner l’allure générale de sa courbe dans un repère orthonormal.
On admet {F'(0)=1/4} ; tracer la tangente en {0}.
On admet {F'(0)=1/4} ; tracer la tangente en {0}.
6. On fixe {x>0}.
Pour {n\in\mathbb{N}} et {t\in]0,1]}, on pose :
{g_n(t)=\frac{t^{nx}\ln^n t}{n!}.}
6.1. Montrer que la série de fonctions {\sum\limits_{n\geqslant0}g_n} converge simplement sur {]0,1]} et donner sa somme.
6.2. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}} :
{\int_0^1|g_n(t)|\,dt=\frac1{n!}\frac{\Gamma(n+1)}{(nx+1)^{n+1}}.}
{\int_0^1|g_n(t)|\,dt=\frac1{n!}\frac{\Gamma(n+1)}{(nx+1)^{n+1}}.}
6.3. Établir que, pour {x>0} :
{F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(1+nx)^{n+1}}.}
{F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(1+nx)^{n+1}}.}
Exercice 3
On note {E=C^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})}.
Pour {f\in E} et {x\geqslant0}, on pose {F(x)=\int_0^xf(u)\,du}.
1. Justifier que {F} est de classe {C^1} sur {\mathbb{R}_+} et donner {F'(x)}.
On définit {\Psi} par :
{\Psi(f)(x)=\int_0^1f(xt)\,dt\quad(x\geqslant0).}
2. Pour {x>0}, exprimer {\Psi(f)(x)} à l’aide de {F(x)}.
3. Justifier que {\Psi(f)} est continue sur {\mathbb{R}_+} et donner {\Psi(f)(0)}.
4. Montrer que {\Psi} est un endomorphisme de {E}.
5. Surjectivité de {\Psi}. On considère :
{h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin(1/x)&x>0,\\[4pt]0&x=0.\end{array}\right.}
5.1. Montrer que {h} est continue sur {\mathbb{R}_+}.
5.2. La fonction {h} est-elle de classe {C^1} sur {\mathbb{R}_+} ?
5.3. Soit {g\in\operatorname{Im}\Psi}.
Montrer que {x\mapsto xg(x)} est de classe {C^1} sur {\mathbb{R}_+}.
Montrer que {x\mapsto xg(x)} est de classe {C^1} sur {\mathbb{R}_+}.
5.4. A-t-on {h\in\operatorname{Im}\Psi} ?
5.5. Conclure.
6. Montrer que {\Psi} est injective.
7. Recherche des éléments propres de {\Psi}.
7.1. Justifier que {0} n’est pas valeur propre de {\Psi}.
Soit {\mu\in\mathbb{R}}.
On considère sur {]0,+\infty[} l’équation :
{(L):\qquad y'+\frac\mu x y=0.}
7.2. Résoudre {(L)} sur {]0,+\infty[}.
7.3. Déterminer les solutions de {(L)} prolongeables par continuité sur {\mathbb{R}_+}.
7.4. Déterminer les valeurs propres de {\Psi} et les sous-espaces propres associés.
8. Soit {n>1}.
Pour {i\in\{1,\ldots,n\}}, on pose {f_i(x)=x^i} sur {\mathbb{R}_+} et :
{g_i(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^i\ln x&x>0,\\[4pt]0&x=0.\end{array}\right.}Ces fonctions sont continues, puisque {x^i\ln x\to0} en {0^+}.
On note {\mathcal B=(f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_n)} et {F_n=\operatorname{Vect}(\mathcal B)}.
8.1. On veut montrer que {\mathcal B} est une base.
On suppose :
{\sum_{i=1}^n\alpha_if_i+\sum_{j=1}^n\beta_jg_j=0.\qquad(*)}
8.1.1. Montrer que {\alpha_1=\beta_1=0}.
On pourra diviser {(*)} par {x} pour {x>0}.
On pourra diviser {(*)} par {x} pour {x>0}.
8.1.2. Soit {p\in\{1,\ldots,n-1\}}.
Supposons {\alpha_1=\cdots=\alpha_p=\beta_1=\cdots=\beta_p=0}.
Montrer que {\alpha_{p+1}=\beta_{p+1}=0}.
Supposons {\alpha_1=\cdots=\alpha_p=\beta_1=\cdots=\beta_p=0}.
Montrer que {\alpha_{p+1}=\beta_{p+1}=0}.
8.1.3. Conclure et déterminer {\dim F_n}.
8.2. Restriction de {\Psi} à {F_n}.
8.2.1. Pour {x>0} et {p\geqslant1}, montrer que {\int_0^xt^p\ln t\,dt} converge et calculer cette intégrale.
8.2.2. En déduire que {\Psi} induit un endomorphisme {\Psi_n} sur {F_n}.
8.3. Donner la matrice de {\Psi_n} dans la base {\mathcal B}.
8.4. Démontrer que {\Psi_n} est un automorphisme de {F_n}.
8.5. Soit {z(x)=(x+x^2)\ln x} pour {x>0} et {z(0)=0}.
Après avoir vérifié {z\in F_n}, déterminer {\Psi_n^{-1}(z)}.
Après avoir vérifié {z\in F_n}, déterminer {\Psi_n^{-1}(z)}.
Exercice 4
Soit {n\geqslant1}.
Questions de cours
1. Soit {p} un projecteur de rang {r} sur un espace de dimension {n}.
1.1. Donner, en fonction de {r}, une matrice {W} de {p} dans une base adaptée.
1.2. Donner les spectres possibles de {W}.
1.3. Comparer {\operatorname{rg}(W)} et {\operatorname{tr}(W)}.
1.4. Calculer {\det(W)}.
On considère des variables indépendantes {X_1,\ldots,X_n} de loi de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}, sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}.
La lettre {p} désigne désormais ce paramètre.
Pour tout {\omega\in\Omega}, la matrice {M(\omega)} est diagonalisable et semblable à :
{\Delta(\omega)=\operatorname{diag}(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)).}2. On pose {T=\operatorname{tr}(M)}.
2.1. Déterminer {T(\Omega)}.
2.2. Donner la loi de {T} et son espérance.
3. En déduire la loi de {R=\operatorname{rg}(M)}.
4. On pose {D=\det(M)}.
4.1. Déterminer {D(\Omega)}.
4.2. Donner la loi de {D} et calculer son espérance.
5. Soit {Z} l’événement : « les sous-espaces propres de {M} ont tous la même dimension ».
5.1. Soit {V} l’événement : « {M} ne possède qu’une seule valeur propre ».
Calculer {\mathbb P(V)}.
Calculer {\mathbb P(V)}.
5.2. Supposons {n} impair.
Déterminer {\mathbb P(Z)}.
Déterminer {\mathbb P(Z)}.
5.3. Supposons {n=2r} pair.
Calculer {\mathbb P(T=r)}, puis {\mathbb P(Z)}.
Calculer {\mathbb P(T=r)}, puis {\mathbb P(Z)}.
6. Pour {\omega\in\Omega}, on pose :
{\begin{array}{l}U(\omega)=(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))^T,\\[4pt]A(\omega)=U(\omega)U(\omega)^T=(a_{ij}(\omega))_{i,j}.\end{array}}
6.1. Pour {\omega\in\Omega} et {i,j\in\{1,\ldots,n\}}, déterminer {a_{ij}(\omega)}.
6.2. Donner la loi de chaque variable aléatoire {a_{ij}}.
6.3. Montrer que {\operatorname{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^nX_i}.
6.4. Déterminer les valeurs prises par {\operatorname{rg}(A)}.
6.5. Pour tout {\omega\in\Omega}, donner les valeurs propres de {A(\omega)}.
6.6. Déterminer la loi de {\operatorname{rg}(A)}.