2023-Cnm-Psi-Corrigé

Concours national commun — PSI — 2023 — Mathématiques II

Calculatrice interdite. Trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Probabilité qu’une matrice soit diagonalisable

1.1 — Diagonalisabilité dans ℳ₂(ℝ)

Pour {\alpha,\beta\in\mathbb R}, on pose {A=\begin{pmatrix}\alpha&1\\[8pt]0&\beta\end{pmatrix}}.

1.2 — Matrice aléatoire

Sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, les variables {X,Y} sont indépendantes et suivent les lois géométriques de paramètres {p_1,p_2\in]0,1[}, à valeurs dans {\mathbb N^*}.

Exercice 2 — Un endomorphisme de ℝ[X]

On pose {E=\mathbb R[X]} et {E_n=\mathbb R_n[X]}. Pour {P\in E}, {\Phi(P)=(X^2-1)P''+2XP'.}

2.1 — Linéarité

On note {\Phi_n} la restriction à {E_n}, {\varepsilon_k=X^k} et {\mathcal B_n=(1,X,\ldots,X^n)} la base canonique.

2.2 — Étude de Φ₃

2.3 — Une base propre explicite

Pour {n\geq1}, on pose {U_n=(X^2-1)^n} et {P_n=U_n^{(n)}}. On convient que {U_0=P_0=1}.

2.4 — Espaces propres dans ℝ[X]

Soit {P\ne0}, de degré {p} et coefficient dominant {\alpha_p}. On fixe {n\in\mathbb N}.

On écrit maintenant {P=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kX^k} et l’on suppose {\Phi(P)=n(n+1)P}.

Exercice 3 — Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien

L’espace euclidien {E} a dimension {n\geq2}, produit scalaire {(\cdot\mid\cdot)} et norme {\|\cdot\|}. Un endomorphisme {f} est symétrique si {(f(x)\mid y)=(x\mid f(y))} pour tous {x,y}, et positif s’il est symétrique et {(f(x)\mid x)\geq0} pour tout {x}.
On note {\mathcal L(E)} l’algèbre des endomorphismes et {S(E)} son sous-espace des endomorphismes symétriques. On utilise les notations usuelles pour les matrices rectangulaires ou carrées, leur transposée, leur rang et leur trace. Le polynôme caractéristique est {P_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)}.
3.1. Pour {v\in E}, on pose {f_v(x)=(v\mid x)v}.

Dans la suite, {u} est unitaire, {p(x)=(u\mid x)u} et {f_\alpha=\operatorname{Id}_E+\alpha p} pour {\alpha\in\mathbb R}.

3.3 — Étude de p

3.4 — Étude de fα

3.6 — Matrice à coefficients constants hors diagonale

Soient {a,b\ne0} et {g} de matrice {aI_n+bJ_n} dans la base notée {\mathcal B_E} par l’énoncé, où {J_n} a tous ses coefficients égaux à {1}.

3.7 — Endomorphismes symétriques

Soit {f\in S(E)}.

3.9 — Caractérisation des endomorphismes symétriques positifs

Soit {f\in\mathcal L(E)}.