2023-Cnm-Mp2-corrigé

Concours National Commun 2023 — Mathématiques II — MP

Ce sujet est composé d’un exercice et d’un problème indépendants.

Exercice — Probabilité qu’une matrice soit diagonalisable

Noté sur 4 points sur 20
Dans cet exercice, {\mathbb R} désigne le corps des nombres réels et {\mathcal M_2(\mathbb R)} l’algèbre des matrices carrées d’ordre {2} à coefficients réels.
1.1. Étude de la diagonalisabilité d’une matrice de {\mathcal M_2(\mathbb R)}
On considère {(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2} et on pose :
{A=\left(\begin{array}{cc}\alpha&1\\[4pt]0&\beta\end{array}\right).}

1.2. Calcul de la probabilité qu’une matrice aléatoire soit diagonalisable dans {\mathcal M_2(\mathbb R)}
Dans cette section, {X} et {Y} sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)} et suivant des lois géométriques de paramètres respectifs {p_1} et {p_2}, avec {(p_1,p_2)\in]0,1[^2} :
{X\sim\mathcal G(p_1),\qquad Y\sim\mathcal G(p_2).}

Problème — Calcul de la distance d’une matrice au groupe orthogonal euclidien

Définitions et rappels
Dans tout ce problème, {\mathbb R} désigne le corps des nombres réels et {n} un entier naturel supérieur ou égal à {2}.
Pour {p\in\mathbb N^*}, on note {\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} l’espace vectoriel des matrices réelles à {n} lignes et {p} colonnes. Si {p=n}, on le note simplement {\mathcal M_n(\mathbb R)} ; la matrice identité est notée {I_n}.
Pour toute matrice {A}, {{}^tA} désigne sa transposée et {\operatorname{rg}(A)} son rang. Pour une matrice carrée, {\operatorname{Tr}(A)} désigne sa trace et {\det A} son déterminant.
On munit {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} du produit scalaire canonique :
{\langle X,Y\rangle={}^tXY.}On note {\mathcal O_n(\mathbb R)} le groupe orthogonal euclidien et on rappelle que :
{\mathcal O_n(\mathbb R)=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R):{}^tMM=I_n\}.}

1ère partie — Quelques résultats préliminaires

On rappelle qu’une matrice symétrique {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est dite positive si, pour tout {X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} :
{{}^tXAX\geq0.}

1.2. On considère une matrice diagonale {D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)\in\mathcal M_n(\mathbb R)} à termes positifs. Ici et dans la suite, ces termes peuvent être nuls. Les {d_i} sont donc supérieurs ou égaux à zéro.

1.3. Caractérisation de la positivité d’une matrice symétrique par le signe de ses valeurs propres

1.3.2. Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} une matrice symétrique.

Dans la suite, on notera {\|\cdot\|_2} la norme associée à ce produit scalaire.

2ème partie — Décomposition polaire d’une matrice de {\mathcal M_n(\mathbb R)}

2.1. Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} ; on note {A_1,\ldots,A_n} ses colonnes. On suppose qu’il existe une matrice diagonale {D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)}, à termes positifs, telle que {{}^tAA=D^2}.

2.2. Soit {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)}.

3ème partie — Application à un calcul de distance

On rappelle que {\mathcal M_n(\mathbb R)} est muni de la norme {\|\cdot\|_2} associée au produit scalaire {(A,B)\mapsto\operatorname{Tr}({}^tAB)}, et que, pour toutes matrices {M,N\in\mathcal M_n(\mathbb R)} :
{\operatorname{Tr}(MN)=\operatorname{Tr}(NM).}3.1. On rappelle que :
{\mathcal O_n(\mathbb R)=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R):{}^tMM=I_n\}.}

Dans la suite de cette partie, on se donne {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} et on cherche à calculer la distance :
{d(A,\mathcal O_n(\mathbb R))=\inf_{M\in\mathcal O_n(\mathbb R)}\|A-M\|_2.}
3.4. Soient {O\in\mathcal O_n(\mathbb R)} et {S\in\mathcal M_n(\mathbb R)} une matrice symétrique positive telles que {A=OS}.

3.5. On conserve les notations de la question 3.4 et on pose {D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)}.