2023-Centrale-Psi2-Corrigé

Centrale-Supélec — PSI — 2023 — Mathématiques 2

Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.

Quelques applications de la formule de Stirling

On démontre un raffinement de la formule de Stirling, puis on l’applique aux marches aléatoires sur {\mathbb Z}.

I — Intégrale de Gauss

On pose {\begin{array}{l}\displaystyle f(x)=\int_0^1\frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}\,dt,\\[8pt]\displaystyle g(x)=\int_0^xe^{-t^2}\,dt.\end{array}}

II — Formule de Stirling

On veut établir l’existence d’une suite {q_n\to0} telle que, pour {n\geq1}, {n!=\sqrt{2\pi n}(n/e)^n\left(1+\frac1{12n}+\frac{q_n}{n}\right).}

II.A

Pour {n\in\mathbb N}, on pose {I_n=\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,dt}.

II.B — Formule de Stirling classique

On cherche à montrer {n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n}.

Pour {n\geq1}, on définit {f_n(y)=(1+y/\sqrt n)^ne^{-y\sqrt n}} si {y\geq-\sqrt n}, et {f_n(y)=0} sinon.

Pour {x\in]-1,+\infty[\setminus\{0\}}, on pose {q(x)=(x-\ln(1+x))/x^2}.

II.C — Raffinement

Pour {n\geq1}, on pose {u_n=\frac{n^ne^{-n}\sqrt n}{n!},\quad v_n=\ln u_n,\quad w_n=v_{n+1}-v_n.}

II.C.1 — Équivalence des restes

Soient {a_n\geq0} et {b_n>0}, avec {a_n\sim b_n} et {\sum b_n} convergente.

II.C.2

On pose {R_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}k^{-2}} pour {n\geq1}.

II.C.3

III — Séries entières et marche aléatoire

On fixe {p\in]0,1[} et {q=1-p}. Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes, de même loi, avec {\mathbb P(X_k=1)=p} et {\mathbb P(X_k=-1)=q}.
On pose {S_0=0} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}. On admet que les sommes de même longueur prises dans deux blocs de variables de même loi ont même loi.
Un retour en zéro ne peut avoir lieu qu’à un instant pair. On définit {a_0=1}, {b_0=0} et, pour {n\geq1}, {\begin{array}{rcl}a_n&=&\mathbb P(S_{2n}=0),\\[8pt]b_n&=&\mathbb P(S_1\ne0,\ldots,S_{2n-1}\ne0,S_{2n}=0).\end{array}}Enfin, {A(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n}} et {B(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_nx^{2n}} lorsque ces séries convergent.

III.A

III.B

III.C

IV — Loi de l’arcsinus

On suppose désormais {p=q=1/2}. Chaque suite de {m} pas dans {\{-1,1\}} a probabilité {2^{-m}}.
L’énoncé définit {T_n=\max\{0\leq k\leq2n:S_k=0\},}dernière visite en zéro pendant les {2n} premiers pas, et admet qu’il s’agit d’une variable aléatoire discrète.
Précision de notation. Les questions Q41, Q42 et Q46 écrivent ensuite {T_{2n}} pour cette même variable. C’est une incohérence d’indice : avec la définition ci-dessus, il faut y lire {T_n}. Les questions sont reprises ci-dessous avec cette correction explicite.
On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x}.

IV.A — Chemins

Un chemin de longueur {m} relie successivement les points {(0,S_0),\ldots,(m,S_m)}. La figure illustrative du sujet correspond aux ordonnées {0,-1,0,1,2,1,0,1} pour les instants de {0} à {7}.
Dans les questions de réflexion, les hauteurs initiale et finale {x,y} sont des entiers strictement positifs.

IV.A.1

On note {N_{n,x}} le nombre de chemins de {(0,0)} à {(n,x)}.

IV.A.2 — Principe de réflexion

IV.A.3

IV.B — Loi de la dernière visite

On fixe {n\geq1} ; on utilise {T_n} conformément à sa définition, à la place du {T_{2n}} imprimé dans les deux questions suivantes.

IV.C — Passage à la limite

On fixe {0\lt\alpha\lt\beta\lt1}.

L’énoncé souligne l’interprétation de la loi de l’arcsinus : pour une longue marche symétrique, la probabilité que la dernière égalité ait lieu avant la moitié de la période tend vers {1/2}. Cela correspond, dans un jeu équilibré, à la possibilité qu’un même joueur reste en tête pendant toute la seconde moitié de la période.