2023-Centrale-Psi1-Corrigé

Centrale-Supélec — PSI — 2023 — Mathématiques 1

Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.

Notations et rappels

On fixe {n\geq1} et l’on identifie les vecteurs de {\mathbb R^n} à leurs colonnes de coordonnées canoniques. On utilise les notations {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {GL_n(\mathbb R)}, {I_n}, {0_n}, {\ker M}, {\operatorname{Im}M}, {\operatorname{rg}M}, {\det M}, {\operatorname{tr}M}, {\chi_M} et {\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(M)}.

La transposition est notée {\mathcal T:M\mapsto M^T}. Une matrice et sa transposée ont même rang et même déterminant.

Pour deux bases {\mathcal B,\mathcal B'} de {\mathbb R^n}, {\mathrm M_{\mathcal B,\mathcal B'}(f)} a pour colonnes les coordonnées dans {\mathcal B'} des images par {f} des vecteurs de {\mathcal B}. On abrège en {\mathrm M_{\mathcal B}(f)} lorsque les deux bases coïncident.

On pose {f^0=\operatorname{Id}} et {f^{k+1}=f\circ f^k}. Si {\Pi(X)=\sum\limits_{k=0}^p a_kX^k}, alors {\Pi(f)=\sum\limits_{k=0}^p a_kf^k}. La notation {\operatorname{diag}(M_1,\ldots,M_k)} désigne une matrice diagonale par blocs.

Un endomorphisme {\Phi} de {\mathcal M_n(\mathbb R)} conserve le rang, le déterminant, la trace ou le polynôme caractéristique lorsque, pour toute matrice {M}, la quantité correspondante est la même pour {\Phi(M)} et pour {M}. Le problème étudie ces propriétés.

I — Résultats préliminaires

I.A

Soient {\mathcal E,\mathcal F,\mathcal G} trois bases et {f,g} deux endomorphismes de {\mathbb R^n}.

I.B

Soit {M\in\mathcal M_n(\mathbb R)}.

II — Étude de quelques endomorphismes

II.A — Multiplication à gauche

Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, on définit {\Gamma_A:M\mapsto AM}. On note {\mathcal L(\mathcal M_n(\mathbb R))} l’espace des endomorphismes de l’espace des matrices.

Dans la suite de II.A, {A} est fixée.

II.B — Multiplications avec ou sans transposition

Pour {P,Q\in GL_n(\mathbb R)}, on pose {\Phi_{P,Q}(M)=PMQ} et {\Psi_{P,Q}(M)=PM^TQ}. Leur linéarité est admise.
On note {\mathcal L_1} l’ensemble des {\Phi_{P,Q}} et {\mathcal L_2} celui des {\Psi_{P,Q}}.

II.B.1

On fixe {P,Q\in GL_n(\mathbb R)}.

II.B.2

On suppose {n\geq2}.

III — Endomorphismes de rang donné

Soit {f\in\mathcal L(\mathbb R^n)}.

III.A

On suppose {f} inversible. Pour une base {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)}, on pose {\mathcal B'=(f(e_1),\ldots,f(e_n))}.

III.B

On suppose {f\ne0} et {\ker f\ne\{0\}}. Une base {\mathcal B_2} de {\ker f} est complétée en {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_k,\mathcal B_2)}.

On complète la famille libre précédente en une base {\mathcal B'=(f(e_1),\ldots,f(e_k),f_{k+1},\ldots,f_n)}.

III.C

Pour {0\leq r\leq n}, on pose {J_{n,r}=\operatorname{diag}(I_r,0_{n-r})}, avec {J_{n,n}=I_n} et {J_{n,0}=0_n}. Dans l’énoncé, la notation {J_{0,n}} pour ce dernier cas est une coquille.
Soit {M\in\mathcal M_n(\mathbb R)} de rang {r}.

III.D

On suppose {n=2} et {\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}B=1}, avec {\operatorname{Im}A\ne\operatorname{Im}B}.

IV — Endomorphismes de ℳ₂(ℝ) conservant le rang

On suppose {n=2}. La base canonique est {\mathcal B_{ca}=(B_1,B_2,B_3,B_4)=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})}.

IV.A

Soient {P=\begin{pmatrix}a&b\\[8pt]c&d\end{pmatrix}} et {Q=\begin{pmatrix}e&f\\[8pt]g&h\end{pmatrix}} inversibles.

Dans la suite de IV, {\Phi} conserve le rang.

IV.B

On pose {\Phi'=\Phi_{P_1,Q_1}\circ\Phi} et {M'=\mathrm M_{\mathcal B_{ca}}(\Phi')}. Pour {1\leq j\leq4}, on note {B'_j=\Phi'(B_j)} et {C_j=(a_j,b_j,c_j,d_j)^T} la {j}-ième colonne de {M'}. L’endomorphisme {\Phi'} conserve encore le rang.

IV.C

On suppose {c_2=0}.

IV.D

On suppose maintenant {c_2\ne0}.

Ainsi, pour {n=2}, un endomorphisme conserve le rang si et seulement s’il appartient à {\mathcal L_1\cup\mathcal L_2}. On admet ce résultat pour {n>2}.

V — Conservation du déterminant ou du polynôme caractéristique

V.A

On suppose {n=2} et {\Phi} conservant le déterminant. Pour raisonner par l’absurde, on considère {A\ne0} telle que {\Phi(A)=0_2}.

Par III, on écrit {A=PJ_{2,1}Q} avec {P,Q} inversibles, et l’on pose {N=P(I_2-J_{2,1})Q}.

On admet que, pour tout {n\geq1}, la conservation du déterminant entraîne celle du rang.

V.B — Cas général

V.B.1 — Propriétés de la trace

V.B.2 — Conservation du polynôme caractéristique