2023-Centrale-Mp1-corrigé

Centrale-Supélec 2023 — Mathématiques 1 — MP, MPI

Sur le calcul ombral

Notations utiles pour la partie I
Notations
{\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}. On identifie les polynômes formels de {\mathbb{K}[X]} et les fonctions polynomiales associées, ainsi que les éléments de {\mathbb{K}} et les polynômes constants.
Par convention, le degré du polynôme nul est {-1}. Pour {n\in\mathbb{N}}, {\mathbb{K}_n[X]} désigne l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à {n}. On note {I} l’endomorphisme identité de {\mathbb{K}[X]} et {Tp=T(p)} pour tout endomorphisme {T}.
On note {\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])} l’algèbre des endomorphismes de {\mathbb{K}[X]}, et {D} l’endomorphisme de dérivation : {Dp=p'}. Pour tout endomorphisme {T}, {T^0=I} et {T^{k+1}=T\circ T^k=T^k\circ T}. Les endomorphismes inversibles sont les automorphismes de {\mathbb{K}[X]}.

I Étude d’endomorphismes de {\mathbb{K}[X]}

I.A – Soit {a\in\mathbb{K}}. Pour tout {p\in\mathbb{K}[X]}, on pose {E_a(p)=E_ap=p(X+a)}.

I.B – À tout {p\in\mathbb{R}[X]}, on associe la fonction {J(p)=Jp} de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}} définie par :
{\forall\\,x\in\mathbb{R},\quad J(p)(x)=Jp(x)=\int_x^{x+1}p(t)\mathrm{d}t.}

I.C – À tout {p\in\mathbb{K}[X]}, on associe la fonction {L(p)=Lp} de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}} définie par, pour tout {x\in\mathbb{K}} :
{L(p)(x)=Lp(x)=-\int_0^{+\infty}e^{-t}p'(x+t)\mathrm{d}t}

II Formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants de {\mathbb{K}[X]}

Soit {T} un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}. On dit que :

• {T} est shift-invariant si, pour tout {a\in\mathbb{K}}, {E_a\circ T=T\circ E_a} ;
• {T} est un endomorphisme delta si {T} est shift-invariant et si l’image du polynôme {X} par {T} est une constante non nulle : {TX\in\mathbb{K}^\star}.

II.A –

II.B –

On note alors {\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^k} l’application de {\mathbb{K}[X]} qui, à un polynôme {p\in\mathbb{K}[X]}, associe le polynôme {\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^kp}.

Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on définit le polynôme {q_n=X^n/n!}. On se donne {T} un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}.

II.C – Dans cette sous-partie, on applique le résultat de la question 11 aux endomorphismes de la partie I.

II.D – Dans cette sous-partie, {T} est un endomorphisme non nul shift-invariant de {\mathbb{K}[X]}. On rappelle que le degré du polynôme nul est par convention égal à {-1}.

II.E – Dans cette sous-partie, {T} est un endomorphisme delta de {\mathbb{K}[X]}.

III Suite de polynômes associée à un endomorphisme delta

On souhaite montrer que, pour tout endomorphisme delta {Q}, il existe une unique suite de polynômes {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} de {\mathbb{K}[X]} telle que :

• {q_0=1} ;
• {\forall\,n\in\mathbb{N},\quad\deg(q_n)=n} ;
• {\forall\,n\in\mathbb{N}^\star,\quad q_n(0)=0} ;
• {\forall\,n\in\mathbb{N}^\star,\quad Qq_n=q_{n-1}}.

Cette suite sera appelée suite de polynômes associée à l’endomorphisme delta {Q}.
III.A – Soit {Q} un endomorphisme delta.

III.B – Réciproquement, soit {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite de polynômes de {\mathbb{K}[X]} telle que {\forall\,n\in\mathbb{N},\quad\deg(q_n)=n} et :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{K}^2,\quad q_n(x+y)=\sum_{k=0}^nq_k(x)q_{n-k}(y).}

III.C – Soit {Q} un endomorphisme delta, soit {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} la suite de polynômes associée à {Q} et soit {n} un entier naturel.

III.D – Dans cette sous-partie, on détermine la suite {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} de polynômes associée à certains endomorphismes.

III.E – Cette sous-partie propose de généraliser la formule de Taylor démontrée dans la partie II. On se donne {Q} un endomorphisme delta et on note {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} la suite de polynômes associée à {Q}.

III.F –

IV Un peu de calcul ombral

Si {T} est un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}, on définit sa dérivée de Pincherle, notée {T'}, comme l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} tel que :
{\forall\,p\in\mathbb{K}[X],\quad T'(p)=T(Xp)-XT(p).}
IV.A – Soient {S} et {T} deux endomorphismes de {\mathbb{K}[X]}.

IV.B – Soit {Q} un endomorphisme delta. On rappelle que d’après la partie II, il existe un unique endomorphisme {U} shift-invariant et inversible tel que {Q=D\circ U}. On note {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} la suite de polynômes associée à {Q} au sens de la partie III.

IV.C – Dans cette sous-partie, on applique les résultats de la question 40 à l’endomorphisme {L} étudié dans les parties I et II. On note {(\ell_n)_{n\in\mathbb{N}}} sa suite de polynômes associée au sens de la partie III.

IV.D – Soient {Q} un endomorphisme delta de suite de polynômes associée notée {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}}.

IV.E – On fixe {\alpha>0} et on définit la fonction {W} de {\mathbb{K}[X]} par :
{W:\mathbb{K}[X]\longrightarrow\mathbb{K}[X],\qquad p\longmapsto p(\alpha X).}

On pose {P=W\circ L\circ W^{-1}} où {L} est l’endomorphisme étudié dans les parties I et II.

On note {T} l’unique automorphisme vérifiant, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {T\ell_n=X^n/n!} et on pose {Q=T\circ P\circ T^{-1}}.

Les endomorphismes {W} et {T} étudiés dans la sous-partie IV.E sont appelés opérateurs ombraux. Les polynômes {(\ell_n)} associés à l’endomorphisme {L} sont connus sous le nom de polynômes de Laguerre (de paramètre {-1}). La dernière formule démontrée grâce aux opérateurs ombraux est leur formule de duplication.