2022-X-Ens-MpB-Corrigé

Cotangente, fonction zêta et lois du PGCD

On pose {\operatorname{cotan}t=\cos t/\sin t} sur {\mathbb R\setminus\pi\mathbb Z}, et {\zeta(k)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{-k}} pour {k\ge2}.

Première partie

Sur {\mathbb R\setminus\mathbb Z}, on définit:
{\begin{array}{l}f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x),\\[4pt]\displaystyle g(x)=\frac1x+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)\\[12pt]D=f-g.\end{array}}

On définit {h:\mathbb R\to\mathbb R} par {h(x)=x/(e^x-1)} si {x\ne0}, et {h(0)=1}.

Deuxième partie

Soit {E=\{x_1,x_2,\ldots\}} un ensemble infini dénombrable, dont les éléments sont distincts. On note {\mathcal M(E)} l’ensemble des probabilités sur {E}, et {\mu(x)=\mu(\{x\})}.

L’espace {\mathcal B(\mathcal P(E),\mathbb R)} est celui des fonctions bornées de l’ensemble des parties de {E} vers {\mathbb R}. On pose {\|f\|=\sup_{A\subset E}|f(A)|}.

Réciproquement, on suppose désormais {\mu_n(x)\to\mu(x)} pour chaque {x\in E}, avec {\mu\in\mathcal M(E)}. On fixe {\varepsilon>0}.

On considère une suite quelconque {(\mu_n)_{n\ge0}} de probabilités sur {E}.

Une suite {(\mu_n)} est dite tendue si, pour tout {\varepsilon>0}, il existe une partie finie {F_\varepsilon\subset E} telle que {\mu_n(F_\varepsilon)\ge1-\varepsilon} pour tout {n}.

Troisième partie

Soit {E} une partie infinie dénombrable de {\mathbb R}. Toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)} ; on admet la possibilité de ces constructions.

Pour une variable {X} à valeurs dans {E}, sa loi est {\mu_X(A)=\mathbb P(X\in A)}, pour {A\subset E}.

On suppose que, pour chaque {\omega}, la suite {X_n(\omega)} est stationnaire et converge vers {X(\omega)}. On pose {L(\omega)=0} si tous les {X_n(\omega)} sont égaux à {X(\omega)}, et sinon {L(\omega)=\max\{n\in\mathbb N:X_n(\omega)\ne X(\omega)\}.}

On note {(p_i)_{i\ge1}} les nombres premiers dans l’ordre croissant et {\nu_p(N)} la valuation {p}-adique. Pour {n\ge1}, on définit {\psi_n(x)=\prod_{i=1}^np_i^{\nu_{p_i}(x)}\quad(x\in\mathbb N^*).}

Quatrième partie

On note {\mathbb N^*r} l’ensemble des multiples strictement positifs de {r}, et {\mathbb P(r\mid X)} la probabilité que {r} divise {X}.

17. Soient {\mu_1,\mu_2} deux probabilités sur {\mathbb N^*} telles que {\mu_1(\mathbb N^*r)=\mu_2(\mathbb N^*r)} pour tout {r\ge1}. On veut montrer leur égalité.

Soit {s\ge1}. Pour {n\ge1}, on considère des variables {X_n^{(1)},\ldots,X_n^{(s)}} indépendantes et uniformes sur {\{1,\ldots,n\}}. On note {Z_n^{(s)}} leur PGCD.

Le rang {n=0} mentionné dans l’énoncé ne définit pas de loi uniforme ; les questions suivantes sont donc considérées pour {n\ge1}.

Pour {s>1}, on définit la probabilité {\mu_s} sur {\mathbb N^*} par {\mu_s(\{m\})=1/(\zeta(s)m^s)}.