2022-X-Ens-MpA-Corrigé

Volumes, formes alternées et sous-espaces orientés

On fixe un entier {p\ge1}. On note {\mathfrak S_p} le groupe des permutations de {\{1,\ldots,p\}} et {\epsilon} leur signature. Pour {x_j=(x_{ij})_{1\le i\le p}\in\mathbb R^p}, le produit mixte est {\begin{array}{rl}\displaystyle [x_1,\ldots,x_p]&=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^px_{\sigma(i),i}\\[10pt]\displaystyle &=\det(x_1|\cdots|x_p).\end{array}}Une application {f:F^p\to G} est {p}-linéaire alternée si elle est linéaire en chaque variable et si {\begin{array}{l}\displaystyle f(u_{\sigma(1)},\ldots,u_{\sigma(p)})\\[10pt]\displaystyle \quad=\epsilon(\sigma)f(u_1,\ldots,u_p).\end{array}}On note {\mathcal A_p(F,G)} l’espace de ces applications.

On considère un espace euclidien {E} de dimension {d\ge1}, de produit scalaire {\langle\cdot,\cdot\rangle} et de norme associée {\|\cdot\|}. Pour {u,v\in E^p}, on pose {\operatorname{Gram}(u,v)_{ij}=\langle u_i,v_j\rangle.}

Partie I

Soient {V,V'} deux sous-espaces de dimension {p} de {E}.

On fixe désormais deux familles {u,u'} ainsi obtenues.

Partie II

Pour {e\in E^p}, on définit {\Omega_p(e):E^p\to\mathbb R} par {\Omega_p(e)(u)=\det\operatorname{Gram}(e,u)}.

Partie III

Soit {e=(e_1,\ldots,e_d)} une base orthonormée de {E} et {1\le p\le d}. On pose {\mathcal I_p=\{(i_1,\ldots,i_p):1\le i_1\lt \cdots\lt i_p\le d\},}et {e_\alpha=(e_{i_1},\ldots,e_{i_p})}. Pour {\omega,\omega'\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)}, on définit {\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha).}

Partie IV

Pour {1\le p\le d}, deux bases {e,e'} d’un même sous-espace {V} de dimension {p} ont la même orientation lorsque {\det_e(e')>0}. On admet que cette relation possède exactement deux classes, appelées orientations de {V}.

Un sous-espace orienté est un couple {(V,C)}, où {C} est une orientation de {V}. On note {\widetilde{\operatorname{Gr}}(p,E)} l’ensemble de ces couples.