Mines-Ponts 2022 — Mathématiques I — PC/PSI
Étude asymptotique du nombre de partitions d’un entier
Une partition de {n} est une décomposition en somme d’entiers naturels non nuls, sans tenir compte de l’ordre. Son nombre, noté {p_n}, sera défini rigoureusement en partie C.
La partie A introduit une fonction complexe {P}, dont la partie C établit le développement {\sum\limits_{n\ge0}p_nz^n}. La partie B étudie {P} au voisinage de {1} sur l’axe réel ; la partie D permet d’obtenir une majoration asymptotique de {p_n}.
On note {D=\{z\in\mathbb C:|z|\lt 1\}} et on admet {\sum\limits_{n=1}^\infty1/n^2=\pi^2/6}.
A — Fonctions {L} et {P}
1. Pour {z\in D}, montrer la convergence de {\sum\limits_{n\ge1}z^n/n} et préciser sa somme si {z\in]-1,1[}. On note {L(z)=\sum\limits_{n=1}^\infty z^n/n}.
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2. Montrer que {\Phi:t\mapsto L(tz)} est dérivable sur un intervalle ouvert contenant {[-1,1]} et donner sa dérivée sur {[-1,1]}.
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3. Montrer que {\Psi(t)=(1-tz)e^{L(tz)}} est constante sur {[0,1]} et en déduire {e^{L(z)}=1/(1-z)}.
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4. Montrer que {|L(z)|\le-\ln(1-|z|)} et en déduire la convergence de {\sum\limits_{n\ge1}L(z^n)}.
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On pose désormais {P(z)=\exp(\sum\limits_{n=1}^\infty L(z^n))} pour {z\in D}.
5. Vérifier que {P(z)\ne0}, que {P(z)=\lim\limits_{N\to\infty}\prod\limits_{n=1}^N(1-z^n)^{-1}} et que, pour {t>0},
{\ln P(e^{-t})=-\sum_{n=1}^\infty\ln(1-e^{-nt}).}
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B — Développement asymptotique en variable réelle
On pose {q(x)=x-\lfloor x\rfloor-1/2} pour {x\in\mathbb R}.
6. Montrer que {q} est continue par morceaux sur {\mathbb R}, {1}-périodique, et que {|q|} est paire.
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7. Montrer que {\int_1^\infty q(u)/(e^{tu}-1)\,du} existe pour {t>0}.
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8. Montrer que, pour {n>1} entier,
{\!\!\!\begin{array}{rl}\!\!\!\displaystyle\int_1^n\frac{q(u)}udu\!\!\!&=\!\displaystyle\ln(n!)\!+\!(n\!-\!1)\!-\!n\ln n\!-\!\tfrac12\ln n\\[8pt]&\displaystyle=\ln\frac{n!e^n}{n^n\sqrt n}-1\end{array}}
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9. Montrer que {\int_{\lfloor x\rfloor}^xq(u)/u\,du\to0} lorsque {x\to+\infty}. En déduire la convergence de l’intégrale sur {[1,+\infty[} et sa valeur {\frac12\ln(2\pi)-1}.
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10. À l’aide d’un développement sous l’intégrale, montrer que {\int_0^\infty\ln(1-e^{-u})\,du=-\pi^2/6}.
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11. Montrer que {\int_0^1\ln((1-e^{-tu})/t)\,du\to-1} lorsque {t\to0^+}. On pourra d’abord établir que {x\mapsto(1-e^{-x})/x} est décroissante sur {\mathbb R_+^*}.
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Pour {k\ge1}, on pose
{u_k(t)=\int_{k/2}^{(k+1)/2}\frac{tq(u)}{e^{tu}-1}\,du\quad(t>0),}et {u_k(0)=\int_{k/2}^{(k+1)/2}q(u)/u\,du}.
12. Montrer que {u_k} est continue sur {\mathbb R_+} pour tout {k\ge1}.
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13. Pour {t>0}, montrer successivement que {|u_k(t)|=\int_{k/2}^{(k+1)/2}t|q(u)|/(e^{tu}-1)\,du}, puis, selon la formule imprimée, {u_k(t)=(-1)^k|u_k(t)|}. Établir enfin
{\left|\sum_{k=n}^\infty u_k(t)\right|\le\frac1{2n}\quad(n\ge1).}
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On admet que cette majoration du reste reste valable pour {t=0}.
14. Montrer que {\int_1^\infty tq(u)/(e^{tu}-1)\,du\to\frac12\ln(2\pi)-1} lorsque {t\to0^+}.
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15. Montrer, pour {t>0}, que
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_1^\infty\frac{tq(u)}{e^{tu}-1}\,du=-\frac12\ln(1-e^{-t})-\ln P(e^{-t})\\[8pt]\quad-\displaystyle\int_1^\infty\ln(1-e^{-tu})\,du.\end{array}}
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16. Conclure que {\ln P(e^{-t})=\pi^2/(6t)+\frac12\ln t-\frac12\ln(2\pi)+o(1)} lorsque {t\to0^+}.
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C — Développement de {P} en série entière
Pour {n\in\mathbb N} et {N\ge1}, on note {\mathcal P_{n,N}} l’ensemble des listes {(a_1,\ldots,a_N)\in\mathbb N^N} telles que {\sum\limits_{k=1}^Nka_k=n}, et {p_{n,N}} son cardinal s’il est fini.
17. Montrer que {\mathcal P_{n,N}\subset\llbracket0,n\rrbracket^N}, que cet ensemble est non vide, que {(p_{n,N})_{N\ge1}} croît et devient constante à partir de {\max(n,1)}.
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On note {p_n} la valeur finale de {(p_{n,N})_{N\ge1}}.
18. Donner {(a_{n,N})} telle que {(1-z^N)^{-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n,N}z^n} sur {D}. En déduire par récurrence
{\prod_{k=1}^N\frac1{1-z^k}=\sum_{n=0}^\infty p_{n,N}z^n.}
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19. Pour {\ell\in\mathbb N} et {x\in[0,1[}, montrer que {\sum\limits_{n=0}^\ell p_nx^n\le P(x)}. En déduire le rayon de convergence de {\sum\limits_np_nz^n}.
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20. En examinant {\sum\limits_{n=0}^\infty p_nz^n-\sum\limits_{n=0}^\infty p_{n,N}z^n}, montrer que {P(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty p_nz^n} sur {D}.
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21. Montrer, pour {n\in\mathbb N} et {t>0},
{p_n=\frac{e^{nt}P(e^{-t})}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-in\theta}\frac{P(e^{-t}e^{i\theta})}{P(e^{-t})}\,d\theta.\tag{1}}
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On utilise désormais (1) pour contrôler {p_n} lorsque {n\to+\infty}.
D — Contrôle de {P}
22. Pour {0\le x\lt 1} et {\theta\in\mathbb R}, montrer avec {L} que
{\left|\frac{1-x}{1-xe^{i\theta}}\right|\le e^{-x(1-\cos\theta)}.}En déduire
{\left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right|\le\exp\left(-\frac1{1-x}+\operatorname{Re}\frac1{1-xe^{i\theta}}\right).}
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23. Montrer, pour {x\in[0,1[}, que
{\begin{array}{l}\displaystyle\frac1{1-x}-\operatorname{Re}\frac1{1-xe^{i\theta}}\\[8pt]\displaystyle\quad\ge\frac{x(1-\cos\theta)}{(1-x)((1-x)^2+2x(1-\cos\theta))}\end{array}}Si {x\ge1/2}, en déduire au moins l’une des deux bornes
{\begin{array}{l}\displaystyle\left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right|\le e^{-(1-\cos\theta)/(6(1-x)^3)}\\[8pt]\displaystyle\quad\text{ou}\quad\le e^{-1/(3(1-x))}\end{array}}On distinguera les valeurs relatives de {x(1-\cos\theta)} et {(1-x)^2}.
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24. Montrer qu’il existe {\alpha>0} tel que {1-\cos\theta\ge\alpha\theta^2} sur {[-\pi,\pi]}. En déduire l’existence de {t_0,\beta,\gamma>0} telles que, pour {0\lt t\le t_0} et {|\theta|\le\pi},
{\left|\frac{P(e^{-t}e^{i\theta})}{P(e^{-t})}\right|\le e^{-\beta(t^{-3/2}\theta)^2}\quad\text{ou}\quad\le e^{-\gamma(t^{-3/2}|\theta|)^{2/3}}.}
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25. En déduire
{\int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!e^{-i\pi^2\theta/(6t^2)}\frac{P(e^{-t}e^{i\theta})}{P(e^{-t})}d\theta=O(t^{3/2})\ (t\to0^+)}
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E — Conclusion
26. En prenant {t=\pi/\sqrt{6n}} dans (1), conclure que {p_n=O(e^{\pi\sqrt{2n/3}}/n)}.
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Épilogue. Une analyse plus fine de l’intégrale de (1) donne l’équivalent de Hardy et Ramanujan (1918) :
{p_n\sim\frac{e^{\pi\sqrt{2n/3}}}{4\sqrt3\,n}.}