Formule asymptotique de Hardy et Ramanujan
On étudie le nombre {p_n} de partitions d’un entier naturel {n}, c’est-à-dire ses décompositions en sommes d’entiers strictement positifs sans tenir compte de leur ordre. On note {D=\{z\in\mathbb C:|z|\lt 1\}}.
Les variables aléatoires considérées sont discrètes. On admet {\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6},\quad\int_{\mathbb R}e^{-u^2/2}\,du=\sqrt{2\pi}.}
A. Fonctions {L} et {P}
1. Pour {z\in D}, montrer la convergence de {\sum\limits_{n\ge1}z^n/n} et donner sa somme si {z\in]-1,1[}. On note {L(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}z^n/n}.
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2. Pour {z\in D}, dériver {t\mapsto L(tz)} sur {[0,1]}. En déduire que {(1-tz)e^{L(tz)}} est constante, puis que {e^{L(z)}=1/(1-z)}.
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3. Montrer que {|L(z)|\le-\ln(1-|z|)} et en déduire la convergence de {\sum\limits_{n\ge1}L(z^n)}. On pose {P(z)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty}L(z^n)\right).}
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B. Développement de {P} en série entière
Pour {n\in\mathbb N} et {N\ge1}, on note {\mathcal P_{n,N}} l’ensemble des listes {(a_1,\ldots,a_N)\in\mathbb N^N} telles que {\sum\limits_{k=1}^Nk a_k=n}, et {p_{n,N}} son cardinal s’il est fini.
4. Montrer que {\mathcal P_{n,N}} est fini, que {(p_{n,N})_{N\ge1}} est croissante et constante à partir de {\max(n,1)}. On note {p_n} sa valeur finale.
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5. Montrer par récurrence que, pour {N\ge1} et {z\in D}, {\prod_{k=1}^N\frac1{1-z^k}=\sum_{n=0}^{\infty}p_{n,N}z^n.}
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6. On convient que {p_{n,0}=0}. En examinant la sommabilité de {((p_{n,N+1}-p_{n,N})z^n)_{n,N\in\mathbb N}}, montrer que {P(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}p_nz^n}. En déduire le rayon de convergence.
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7. Pour {n\in\mathbb N} et {t>0}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle p_n\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac{e^{nt}}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-in\theta}P(e^{-t+i\theta})\,d\theta,\end{array}}puis écrire la même formule en factorisant {P(e^{-t})}.
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C. Contrôle de {P}
8. Pour {x\in[0,1[} et {\theta\in\mathbb R}, montrer avec {L} que {\left|\frac{1-x}{1-xe^{i\theta}}\right|\le e^{-x(1-\cos\theta)}.}En déduire {\begin{array}{l}\displaystyle \left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right|\\[8pt]\displaystyle \quad\le\exp\left(-\frac1{1-x}+\operatorname{Re}\frac1{1-xe^{i\theta}}\right).\end{array}}
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9. Pour {x\in[1/2,1[}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle \frac1{1-x}-\operatorname{Re}\frac1{1-xe^{i\theta}}\\[8pt]\displaystyle \quad\ge\frac{x(1-\cos\theta)}{(1-x)((1-x)^2+2x(1-\cos\theta))}.\end{array}}En déduire qu’au moins l’une des deux majorations suivantes est vraie : {\begin{array}{l}\displaystyle \left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right|\le e^{-(1-\cos\theta)/(6(1-x)^3)},\end{array}}{\left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right|\le e^{-1/(3(1-x))}.}
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D. Quelques estimations de sommes
Pour {\alpha>0}, {n\ge1} et {t>0}, on pose, sous réserve d’existence, {\begin{array}{l}\displaystyle S_{n,\alpha}(t)\\[8pt]\displaystyle \quad=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^ne^{-kt\alpha}}{(1-e^{-kt})^n}.\end{array}}On introduit la fonction de classe {C^\infty} sur {]0,+\infty[} {\varphi_{n,\alpha}(x)=\frac{x^ne^{-\alpha x}}{(1-e^{-x})^n}.}
10. Montrer que {\varphi_{n,\alpha}} et sa dérivée sont intégrables sur {]0,+\infty[}.
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11. Montrer l’existence et la stricte positivité de {S_{n,\alpha}(t)}, puis l’identité {\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^{+\infty}\varphi_{n,\alpha}(x)\,dx=t^{n+1}S_{n,\alpha}(t)\\[8pt]\displaystyle\quad-\sum_{k=0}^{\infty}\int_{kt}^{(k+1)t}(x-kt)\varphi_{n,\alpha}'(x)\,dx.\end{array}}En déduire, lorsque {t\to0^+}, {\begin{array}{l}\displaystyle S_{n,\alpha}(t)\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac1{t^{n+1}}\int_0^{+\infty}\varphi_{n,\alpha}(x)\,dx+O(t^{-n}).\end{array}}
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12. Sans utiliser les questions précédentes, montrer que {\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}\,dx=\frac{\pi^2}{6}.}
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On admet désormais {\int_0^{+\infty}\frac{x^2e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\,dx=\frac{\pi^2}{3}.}
E. Contrôle des fonctions caractéristiques
Pour une variable aléatoire réelle discrète {X}, on définit {\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_X(\theta)=\mathbb E(\cos(\theta X))+i\mathbb E(\sin(\theta X))\\[8pt]\displaystyle \quad=\mathbb E(e^{i\theta X}).\end{array}}
13. Montrer que {|\Phi_X(\theta)|\le1} pour tout réel {\theta}.
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Dans les questions 14 à 18, {X} suit une loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[} sur {\mathbb N^*}. On pose {q=1-p}.
14. Montrer que, pour {a,b,\theta\in\mathbb R}, {\Phi_{aX+b}(\theta)=\frac{pe^{i(a+b)\theta}}{1-qe^{ia\theta}}.}
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15. Montrer que {X^k} est d’espérance finie pour tout {k\in\mathbb N}, que {\Phi_X\in C^\infty(\mathbb R)} et que {\Phi_X^{(k)}(0)=i^k\mathbb E(X^k)}.
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16. Montrer qu’il existe des polynômes {P_k\in\mathbb C[X]}, indépendants de {p}, tels que {\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_X^{(k)}(\theta)=pi^ke^{i\theta}\frac{P_k(qe^{i\theta})}{(1-qe^{i\theta})^{k+1}},\\[8pt]\displaystyle \quad\text{et } P_k(0)=1.\end{array}}
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17. En déduire l’existence de constantes {C_k>0}, indépendantes de {p}, telles que {\left|\mathbb E(X^k)-\frac1{p^k}\right|\le\frac{C_kq}{p^k}.}
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18. Montrer qu’il existe {K>0}, indépendant de {p}, tel que {\mathbb E\big((X-\mathbb E(X))^4\big)\le\frac{Kq}{p^4}.}
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Dans les questions 19 à 21, {Y} est une variable réelle centrée telle que {\mathbb E(Y^4)\lt +\infty}.
19. Montrer que {Y^2} et {|Y|^3} sont intégrables, puis que {\begin{array}{l}\displaystyle \mathbb E(Y^2)\le\mathbb E(Y^4)^{1/2},\quad\mathbb E(|Y|^3)\\[8pt]\displaystyle \quad\le\mathbb E(Y^4)^{3/4}.\end{array}}
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20. Montrer que {|e^{iu}-1-iu+u^2/2|\le|u|^3/6} pour {u\in\mathbb R}. En déduire {\begin{array}{l}\displaystyle \left|\Phi_Y(\theta)-1+\frac{\mathbb E(Y^2)\theta^2}{2}\right|\\[8pt]\displaystyle \quad\le\frac{|\theta|^3}{3}\mathbb E(Y^4)^{3/4}.\end{array}}
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21. Conclure que {\begin{array}{l}\displaystyle\left|\Phi_Y(\theta)-e^{-\mathbb E(Y^2)\theta^2/2}\right|\\[8pt]\displaystyle\quad\le\frac{|\theta|^3}{3}\mathbb E(Y^4)^{3/4}+\frac{\theta^4}{8}\mathbb E(Y^4).\end{array}}
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F. Convergence vers une gaussienne
Pour {t>0}, on pose {m_t=S_{1,1}(t)} et {\sigma_t=\sqrt{S_{2,1}(t)}}. On définit {h(t,\theta)=e^{-im_t\theta}\frac{P(e^{-t+i\theta})}{P(e^{-t})},}{\zeta(t,u)=\exp\left(\frac{iu}{\sigma_t}\left(m_t-\frac{\pi^2}{6t^2}\right)\right),}{j(t,u)=\zeta(t,u)h(t,u/\sigma_t).}
22. Pour des complexes {z_1,\ldots,z_n,u_1,\ldots,u_n} de module au plus {1}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle \left|\prod_{k=1}^nz_k-\prod_{k=1}^nu_k\right|\\[8pt]\displaystyle \quad\le\sum_{k=1}^n|z_k-u_k|.\end{array}}
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23. Soient {t>0}, {\theta\in\mathbb R}, et {Z_k\sim\mathcal G(1-e^{-kt})}. On pose {Y_k=k(Z_k-\mathbb E(Z_k))}. Montrer que {h(t,\theta)=\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\Phi_{Y_k}(\theta).}En déduire {\begin{array}{l}|h(t,\theta)-e^{-\sigma_t^2\theta^2/2}|\\[8pt]\quad\le K^{3/4}|\theta|^3S_{3,3/4}(t)+K\theta^4S_{4,1}(t).\end{array}\tag{2}}
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24. Montrer que {\sigma_t\sim\pi/(\sqrt3\,t^{3/2})} lorsque {t\to0^+}. En déduire que {j(t,u)\to e^{-u^2/2}} pour chaque réel {u}.
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25. Montrer qu’il existe {\alpha>0} tel que {1-\cos\theta\ge\alpha\theta^2} sur {[-\pi,\pi]}. En déduire l’existence de {t_0,\beta,\gamma>0} tels que, pour {0\lt t\le t_0} et {|\theta|\le\pi}, {\begin{array}{l}\displaystyle |h(t,\theta)|\\[8pt]\displaystyle \quad\le e^{-\beta(\sigma_t\theta)^2}\quad\text{ou}\quad |h(t,\theta)|\\[8pt]\displaystyle \quad\le e^{-\gamma(\sigma_t|\theta|)^{2/3}}.\end{array}}
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26. Conclure que {\int_{-\pi\sigma_t}^{\pi\sigma_t}j(t,u)\,du\longrightarrow\sqrt{2\pi}\quad(t\to0^+).}
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G. Conclusion
On admet, lorsque {t\to0^+}, {P(e^{-t})\sim\sqrt{\frac t{2\pi}}\exp\left(\frac{\pi^2}{6t}\right).}
27. En appliquant (1) à {t=\pi/\sqrt{6n}}, montrer la formule de Hardy et Ramanujan : {p_n\sim\frac{\exp(\pi\sqrt{2n/3})}{4\sqrt3\,n}\quad(n\to\infty).}
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