Exercice
M. Toutlemonde a oublié le code de la porte de son immeuble. Ce code comporte quatre chiffres, chacun compris entre {0} et {9}.
Q 1. Déterminer la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[}, puis en déduire son espérance.
Q 2. En essayant un code au hasard, quelle est la probabilité de trouver le bon code ?
Q 3. On choisit à chaque essai un code au hasard parmi ceux qui n’ont pas encore été testés. Déterminer la loi et l’espérance du nombre {X} d’essais jusqu’au bon code.
Q 4. On choisit maintenant les codes au hasard sans tenir compte des essais précédents. Déterminer la loi et l’espérance du nombre {X} d’essais jusqu’au bon code.
Q 5. Compléter le script Python suivant afin de compter les essais nécessaires pour deviner le code 4714 :
|
1 2 3 4 5 6 7 |
code = 4714 n = int(input('Taper un code (4 chiffres):')) k = ... while ...: ... ... print('Code trouvé en ' + str(k) + ' essais') |
Pour conserver son code sur un papier, M. Toutlemonde remplace chaque chiffre par ce chiffre augmenté de {5}, puis réduit modulo {10}. Ainsi 4714 devient 9269.
Q 6. Écrire une fonction Python
crypte(m) recevant une liste de quatre chiffres et renvoyant la liste cryptée. Par exemple, crypte([4,7,1,4]) doit renvoyer [9,2,6,9].Problème — Intégrales de Fresnel
On étudie des intégrales et des séries liées aux intégrales de Fresnel.
I. Intégrales fonctions de leur borne
On définit {H(x)=\int_0^x e^{it^2}\,dt}, où {e^{it^2}=\exp(it^2)}.
Q 7. Montrer que {H} est définie et de classe {C^\infty} sur {\mathbb R}. Donner {H'(x)}.
Q 8. Étudier la parité de {H}.
Q 9. Développer {t\mapsto e^{it^2}} en série entière au voisinage de zéro. En déduire un développement de {H} et préciser son intervalle de validité.
Q 10. Pour {x>0}, montrer que {H(x)=\displaystyle\frac12\int_0^{x^2}e^{iu}/\sqrt u\,du}.
Q 11. Pour {x>4\pi^2}, en déduire que {\begin{array}{rl}H(x)-H(\sqrt{2\pi})&=-\dfrac{ie^{ix^2}}{2x}+\dfrac{i}{2\sqrt{2\pi}}\\[8pt]&\displaystyle\quad-\frac i4\int_{2\pi}^{x^2}\frac{e^{iu}}{u^{3/2}}\,du.\end{array}}
Q 12. En déduire que {\int_0^{+\infty}e^{it^2}\,dt} converge.
Q 13. Proposer une fonction Python
I(f,a,b,n) approchant {\int_a^b f(t)\,dt} par la méthode des rectangles, avec {n} rectangles, pour une fonction réelle ou complexe.Q 14. Proposer une fonction Python
H(x,n) calculant une approximation de {H(x)} avec la fonction précédente. On rappelle que {e^{it^2}} s’écrit exp(1j*t**2).II. Calcul des intégrales de Fresnel
On pose {\begin{array}{l}\displaystyle g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-x^2(t^2-i)}}{t^2-i}\,dt,\\[12pt]\displaystyle \quad f(x,t)=\frac{e^{-x^2(t^2-i)}}{t^2-i}.\end{array}}
Q 15. Pour {(x,t)\in\mathbb R^2}, déterminer les modules de {e^{-x^2(t^2-i)}} et {t^2-i}.
Q 16. Montrer que {g} est définie et continue sur {\mathbb R}. On pourra utiliser un argument de parité.
Q 17. Pour toute suite {(x_n)} tendant vers {+\infty}, montrer par convergence dominée que {g(x_n)\to0}. En déduire les limites de {g} aux deux infinis.
Q 18. Montrer que {g} est de classe {C^1} sur {\mathbb R^*}.
Q 19. En admettant {\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi}, vérifier que {g'(x)=-2\sqrt\pi e^{ix^2}} pour {x>0}.
Q 20. Décomposer {1/(X^2-i)} en éléments simples dans {\mathbb C(X)}. On admet ensuite, en posant {Q_\pm(X)=X^2\pm\sqrt2X+1}, l’identité {\begin{array}{l}\displaystyle \frac1{X^2-i}\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac{1-i}{4}\left[\begin{array}{l}\dfrac{\sqrt2}{2}\left(\dfrac{Q_-'(X)}{Q_-(X)}-\dfrac{Q_+'(X)}{Q_+(X)}\right)\\[8pt]+i\left(\dfrac1{Q_-(X)}+\dfrac1{Q_+(X)}\right)\end{array}\right].\end{array}}Montrer que {\int_{-\infty}^{+\infty}dt/(t^2-\sqrt2t+1)=\pi\sqrt2}, donner l’intégrale avec le signe {+}, puis calculer {g(0)}.
Q 21. Montrer que, pour {x>0}, {g(x)=\frac{(1+i)\pi}{\sqrt2}-2\sqrt\pi H(x).}En déduire les intégrales de {e^{it^2}}, {\cos(t^2)} et {\sin(t^2)} sur {[0,+\infty[}.
III. Étude d’une série de fonctions
On étudie {S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{inx}/\sqrt n} et on pose {f_n(x)=e^{inx}/\sqrt n}.
Q 22. Soit {(a_n)_{n\ge1}} une suite réelle positive décroissant vers zéro et {(b_n)_{n\ge0}} une suite bornée. En admettant {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=1}^Na_n(b_n-b_{n-1})\\[8pt]\displaystyle\quad=\sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1})b_n+a_{N+1}b_N-a_1b_0,\end{array}}montrer que {\sum\limits_{n\ge1}a_n(b_n-b_{n-1})} converge.
Q 23. Pour {x\in]0,2\pi[} et {n\ge1}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle \sum_{k=1}^ne^{ikx}\\[8pt]\displaystyle \quad=e^{i(n+1)x/2}\frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}.\end{array}}
Q 24. En utilisant les deux questions précédentes, montrer que {S} est définie sur {]0,2\pi[}.
Q 25. On admet, pour {k\ge1} et {x\in]0,2\pi[}, {\begin{array}{l}\displaystyle \left|\frac{e^{i(k+1)x}-e^{ikx}}{ix\sqrt k}-\int_k^{k+1}\frac{e^{itx}}{\sqrt t}\,dt\right|\le\frac1{4k^{3/2}}.\end{array}}Montrer qu’il existe {C>0}, indépendant de {x}, tel que {\begin{array}{l}\displaystyle \left|\frac{e^{ix}-1}{ix}S(x)-\int_1^{+\infty}\frac{e^{itx}}{\sqrt t}\,dt\right|\le C.\end{array}}
Q 26. Déterminer la limite en {0^+} de {I(x)=\sqrt x\int_1^{+\infty}e^{itx}/\sqrt t\,dt}.
Q 27. Déterminer la limite en {0^+} de {(e^{ix}-1)/(ix)}, puis donner un équivalent de {S(x)} en {0^+}.