Somme des distances à des points du plan
Soit {n\ge3}. Dans le plan complexe euclidien, on considère {n} points distincts non alignés {M_0,\ldots,M_{n-1}} d’affixes {z_0,\ldots,z_{n-1}}. On étudie {\displaystyle f(M)=\sum_{k=0}^{n-1}M_kM,\quad f(z)=\sum_{k=0}^{n-1}|z-z_k|.}
0°) Inégalité triangulaire et cas d’égalité
0°) a) Démontrer que {|z+z'|\le|z|+|z'|} pour tous complexes {z,z'}.
0°) b) Montrer que {|z+z'|=|z|+|z'|} si et seulement si {z=0} ou s’il existe {\mu\ge0} tel que {z'=\mu z}.
1°) Existence d’un minimum absolu
1°) a) Vérifier que {f(z)\ge n|z|-f(0)}. En déduire que {f(z)\to+\infty} lorsque {|z|\to+\infty}, et que {f(z)>f(0)} pour {|z|>2f(0)/n}.
1°) b) Justifier l’existence d’un minimum {m} sur la boule fermée de centre zéro et de rayon {2f(0)/n}. Montrer que c’est un minimum absolu sur le plan et que {m>0}.
2°) Unicité du point {\Omega} où le minimum est atteint
On pose {f_k(z)=|z-z_k|}.
2°) a) Pour {z\ne z'} et {0\lt \lambda\lt 1}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle f_k(\lambda z+(1-\lambda)z')\\[8pt]\displaystyle \quad\le\lambda f_k(z)+(1-\lambda)f_k(z').\end{array}}Établir qu’en cas d’égalité, les points {M_k,M,M'} sont alignés.
2°) b) En déduire que, pour {z\ne z'} et {0\lt \lambda\lt 1}, {f(\lambda z+(1-\lambda)z')\lt \lambda f(z)+(1-\lambda)f(z').}
2°) c) Si le minimum était atteint en deux points distincts d’affixes {\omega,\omega'}, montrer que {f(\lambda\omega+(1-\lambda)\omega')\lt m}. En déduire l’unicité du point {\Omega}.
2°) d) On suppose successivement que l’ensemble des points {M_k} est stable par les symétries suivantes.
2°) d) 1. Dans le cas d’une symétrie orthogonale par rapport à une droite {\Delta}, montrer que {\Omega\in\Delta}. On pourra considérer le symétrique de {\Omega}.
2°) d) 2. Dans le cas d’une symétrie centrale de centre {I}, montrer que {\Omega=I}. Pour {n=4}, déterminer le minimum lorsque {M_0M_1M_2M_3} est un parallélogramme.
2°) d) 3. Dans le cas d’une rotation de centre {I} et d’angle {\theta\in\mathbb R\setminus\pi\mathbb Z}, montrer que {\Omega=I}. Déterminer le minimum lorsque {z_k=e^{2ki\pi/n}}.
3°) Gradient de {f}
Pour {z=x+iy} et {z_k=x_k+iy_k}, on écrit indifféremment {f(z)} ou {f(x,y)}, et {f_k(x,y)=\sqrt{(x-x_k)^2+(y-y_k)^2}.}
3°) a) Montrer que {U=\mathbb C\setminus\{z_0,\ldots,z_{n-1}\}} est un ouvert.
3°) b) Calculer les dérivées partielles de {f_k} sur {U}, montrer que {f_k\in C^1(U)} et préciser l’affixe de son gradient.
3°) c) Justifier que {f\in C^1(U)} et préciser l’affixe de son gradient.
4°) Recherche du point minimisant
4°) a) Montrer que le minimum est atteint soit en un {M_k}, soit en un point d’affixe {z\notin\{z_0,\ldots,z_{n-1}\}} vérifiant {\sum_{k=0}^{n-1}\frac{z-z_k}{|z-z_k|}=0.}
4°) b) Soit {c\notin\{z_0,\ldots,z_{n-1}\}} tel que {\sum\limits_{k=0}^{n-1}(c-z_k)/|c-z_k|=0}.
Montrer, pour tout {z\in\mathbb C}, que {\sum_{k=0}^{n-1}|c-z_k|=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z-z_k}\frac{c-z_k}{|c-z_k|}.}En déduire que {f(c)\le f(z)} et que {C=\Omega}.
Montrer, pour tout {z\in\mathbb C}, que {\sum_{k=0}^{n-1}|c-z_k|=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z-z_k}\frac{c-z_k}{|c-z_k|}.}En déduire que {f(c)\le f(z)} et que {C=\Omega}.
4°) c) Montrer qu’il existe au plus un tel complexe {c} extérieur à {\{z_0,\ldots,z_{n-1}\}}. Ainsi le minimum est atteint en ce point s’il existe, sinon en un des {M_k}.
5°) Localisation dans un polygone convexe
5°) a) Soit {\Delta} une droite, {M\notin\Delta} d’un côté de cette droite, {A} de l’autre côté et {M'} le symétrique de {M}. Représenter ces points et {I=[AM]\cap\Delta}. En utilisant l’inégalité triangulaire, montrer que {AM'\le AM}.
5°) b) Supposons que les {M_k}, dans cet ordre, forment un polygone convexe. Avec {M_n=M_0}, on admet que le polygone, intérieur et côtés compris, est l’intersection des demi-plans fermés {F_i} délimités par {(M_iM_{i+1})} et contenant tous les sommets. En déduire que {\Omega} appartient au polygone.
6°) Un exemple
Soit {x>0}. On considère les trois points {A,B,C} d’affixes respectives {i,x,-x}.
6°) a) Montrer que {\Omega} appartient au segment {[OA]}, où {O} est l’origine.
6°) b) Calculer {f(M_t)} pour le point d’affixe {it}, avec {0\le t\le1}. Pour quelle valeur de {t} est-elle minimale ? En déduire {\Omega} en fonction de {x}.
6°) c) Montrer que {\Omega=A} si et seulement si l’angle entre {\overrightarrow{AB}} et {\overrightarrow{AC}} est supérieur ou égal à {2\pi/3}.