École polytechnique — ESPCI — ENS 2022 — PC
Notations. Le module complexe est noté {|z|}. Sur {\mathbb C^\ell}, on utilise la norme {\|x\|=(\sum\limits_{j=1}^\ell|x_j|^2)^{1/2}}. On note {\mathcal M_\ell(\mathbb C)} l’ensemble des matrices carrées complexes d’ordre {\ell}.
Pour {A\in\mathcal M_\ell(\mathbb C)}, {\sigma(A)} est son spectre et {\rho(A)=\max_{\lambda\in\sigma(A)}|\lambda|} son rayon spectral. Un point fixe de {\phi:E\to E} est un {x\in E} tel que {\phi(x)=x}.
Les trois premières parties sont indépendantes ; la quatrième utilise des résultats de la troisième.
Première partie — Points fixes
1. Soit {\phi:[a,b]\to[a,b]} continue. Montrer qu’elle possède un point fixe.
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2. Si {\phi:\mathbb R\to\mathbb R} est de classe {\mathcal C^1} et {\sup_{x\in\mathbb R}|\phi'(x)|\lt 1}, montrer qu’elle possède un unique point fixe. On pourra étudier {x-\phi(x)} pour {|x|} grand.
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3. À l’aide de {\psi(x)=\sqrt{1+x^2}}, montrer que l’hypothèse précédente ne peut être remplacée par {|\phi’(x)|\lt 1} pour chaque {x}.
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Soit {(v_n)} dans {\mathbb R^\ell} telle que {\sum\limits_{n\ge0}\|v_{n+1}-v_n\|} converge.
4. (a) Montrer que {(v_n)} converge.
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4. (b) Notons {v^*} la limite. Majorer {\|v_n-v^*\|} au moyen d’un reste de la série.
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Soient {F} une partie fermée de {\mathbb R^\ell} et {\phi:F\to F} telle qu’il existe {k\in[0,1[} vérifiant {\|\phi(y)-\phi(x)\|\le k\|y-x\|} pour {x,y\in F}.
5. (a) On choisit {x_0\in F}. Montrer que {x_{n+1}=\phi(x_n)} définit une suite de {F} convergente dans {F}.
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5. (b) En déduire que {\phi} possède un unique point fixe dans {F}.
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5. (c) Majorer {\|x_n-x^*\|} en fonction de {\|x_0-x^*\|}.
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5. (d) Supposons {\phi=\theta\circ\cdots\circ\theta} ({m\ge2} fois), où {\theta:F\to F}. Montrer que {\theta} possède un unique point fixe.
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6. Soit {g:[0,1]\to[0,1]} croissante, pas nécessairement continue. Montrer qu’elle possède un point fixe. On pourra considérer {E=\{x\in[0,1]:x\le g(x)\}}.
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Deuxième partie — Matrices contractantes
1. Pour {T=\left(\begin{array}{cc}\lambda&a\\[8pt]0&\mu\end{array}\right)\in\mathcal M_2(\mathbb C)}, calculer {T^n} pour {n\ge1}.
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Soient {A\in\mathcal M_2(\mathbb C)} et {\epsilon>0}.
2. (a) Montrer qu’il existe {\alpha>0} tel que les modules des coefficients de {A^n} soient majorés par {\alpha(\rho(A)+\epsilon)^n} pour tout entier positif {n}.
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2. (b) En déduire {\beta>0} tel que {\|A^nx\|\le\beta(\rho(A)+\epsilon)^n\|x\|} pour tout {n} et {x\in\mathbb C^2}.
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Soient maintenant {A\in\mathcal M_2(\mathbb C)} et {\eta>0}.
3. (a) Montrer que {\sum\limits_{n\ge0}(\rho(A)+\eta)^{-n}\|A^nx\|} converge pour tout {x}. On note {N(x)} sa somme.
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3. (b) Montrer que {N} est une norme sur {\mathbb C^2} et que {N(Ax)\le(\rho(A)+\eta)N(x)}.
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3. (c) Montrer qu’il existe {C>0} tel que {\|x\|\le N(x)\le C\|x\|}.
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4. (a) Si {B\in\mathcal M_\ell(\mathbb C)} est diagonalisable, montrer qu’il existe une norme {\|\cdot\|_B} telle que {\|Bx\|_B\le\rho(B)\|x\|_B}. On pourra vérifier que {x\mapsto\|Px\|} est une norme si {P} est inversible.
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4. (b) Trouver {C\in\mathcal M_2(\mathbb C)} telle que, pour toute norme {N}, il existe {y} avec {N(Cy)>\rho(C)N(y)}.
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5. Soient {\phi:\mathbb R^2\to\mathbb R^2}, un point fixe {x^*}, {A\in\mathcal M_2(\mathbb R)} avec {\rho(A)\lt 1} et {M>0}. On suppose
{\|\phi(x)-\phi(x^*)-A(x-x^*)\|\le M\|x-x^*\|^2.}Montrer que, si {x_0} est assez proche de {x^*}, la suite {x_{n+1}=\phi(x_n)} converge vers {x^*}.
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Troisième partie — Fonctions de deux variables réelles
Soient {a\le b}, {c\le d}, un ouvert {U} contenant {[a,b]\times[c,d]} et {h\in\mathcal C^2(U,\mathbb R)}.
1.(a) Montrer
{\begin{array}{l}h(b,d)-h(a,d)-h(b,c)+h(a,c)\\[8pt]\qquad=\displaystyle\int_a^b\widehat h(s_1)\,ds_1\end{array}}où {\widehat h(s_1)=\displaystyle\int_c^d\frac{\partial^2h}{\partial s_1\partial s_2}(s_1,s_2)\,ds_2}.
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1. (b) Montrer qu’il existe {(\bar s_1,\bar s_2)\in[a,b]\times[c,d]} tel que
{\begin{array}{l}h(b,d)\!-\!h(a,d)\!-\!h(b,c)\!+\!h(a,c)\\[8pt]\quad\!=\!(b-a)\widehat h(\bar s_1)\!=\!(b\!-\!a)(d\!-\!c)\partial_{12}h(\bar s_1,\bar s_2).\end{array}}
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2. Soient {I} un intervalle ouvert et {f\in\mathcal C^3(I,\mathbb R)} telle que {f'>0}. Montrer que {f} est bijective de {I} sur l’intervalle ouvert {f(I)}. Pour sa réciproque {g}, rappeler {g'(f(x))} et exprimer {g''(f(x))}.
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On conserve ces hypothèses. Pour {x,y\in I} avec {x\ne y}, on pose {H_f(x,y)=(xf(y)-yf(x))/(f(y)-f(x))}.
3. (a) Montrer que
{\begin{array}{l}H_f(x,y)\\\displaystyle=x-f(x)\int_0^1g'(\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y))\,d\lambda\end{array}}
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3. (b) En déduire que {H_f} admet un unique prolongement continu à {I\times I}, encore noté {H_f}.
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3. (c) Montrer que {H_f\in\mathcal C^2(I\times I)}.
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3. (d) Calculer {H_f(x,x)}.
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On suppose désormais {0\in f(I)} et on note {x^*=g(0)}. Pour {x\in I}, {I_x} est le segment d’extrémités {x} et {x^*}.
4. (a) Montrer qu’il existe {(\bar x,\bar y)\in I_x\times I_y} tel que {H_f(x,y)-x^*=(x-x^*)(y-x^*)\partial_{xy}H_f(\bar x,\bar y)}.
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4. (b) Calculer {\partial_{xy}H_f(x^*,x^*)} avec les dérivées de {f}.
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Quatrième partie — Méthode de la sécante
Soient {I} un intervalle ouvert et {f\in\mathcal C^3(I,\mathbb R)}. On cherche à approcher une solution de {f(x)=0}.
On choisit {x_0,x_1\in I}. À l’étape {n\ge1}, on considère la droite {L_n} passant par {(x_{n-1},f(x_{n-1}))} et {(x_n,f(x_n))}. Si les deux abscisses sont égales, on prend la tangente au graphe en ce point.
Si cette droite rencontre {\{(x,0):x\in I\}} en un unique point, son abscisse est {x_{n+1}} ; sinon, la méthode échoue et l’itération s’arrête.
1. Illustrer la construction par une figure. Lorsque {f’>0} sur {I}, exprimer {x_{n+1}} à l’aide de {H_f}.
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Dans la question 2, {f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)} avec {\alpha>\beta}, et {I=](\alpha+\beta)/2,+\infty[}. On pose {h(x)=(x-\alpha)/(x-\beta)}, avec {h(\beta)=\infty}.
2. (a) Montrer que {|h(x)|\lt 1} si et seulement si {x\in I}.
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2. (b) Expliciter la récurrence de {u_n=h(x_n)} et en déduire que {(x_n)} est bien définie pour tous {x_0,x_1\in I}.
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2. (c) Montrer que {u_n\to0}, puis {x_n\to\alpha}.
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2. (d) Pour {\varphi=(1+\sqrt5)/2}, montrer qu’il existe {s\lt 0} tel que {x_n-\alpha=O(e^{s\varphi^n})}.
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On revient au cas général. On suppose que {f(x^*)=0} en un point {x^*\in I} où {f’(x^*)>0}.
3. (a) Montrer qu’il existe {\epsilon>0} tel que {[x^*-\epsilon,x^*+\epsilon]\subset I} et {f'>0} sur ce segment. On fixe un tel {\epsilon} et on pose
{M=\sup_{(x,y)\in[x^*-\epsilon,x^*+\epsilon]^2}|\partial_{xy}H_f(x,y)|.}
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3. (b) Si {x_{n-1},x_n\in[x^*-\epsilon,x^*+\epsilon]}, montrer que {|x_{n+1}-x^*|\le M|x_{n-1}-x^*|\,|x_n-x^*|}.
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3. (c) Soit {0\lt \epsilon’\le\epsilon} tel que {M\epsilon’\lt 1}. Montrer que si {x_0,x_1\in[x^*-\epsilon’,x^*+\epsilon’]}, la suite est bien définie et converge vers {x^*}.
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