2022-Ens-MpC-Corrigé

Séries formelles et linéarisation

On note {\mathbb C[[z]]} l’algèbre des séries formelles {f=\sum\limits_{k\ge0}(f)_kz^k}, munie de l’addition coefficient par coefficient et du produit de Cauchy {(fg)_k=\sum_{i=0}^k(f)_i(g)_{k-i}.}Une telle série n’est pas supposée convergente. On note {\rho(f)\in[0,+\infty]} son rayon de convergence et {f(z)} sa somme lorsqu’elle existe.

L’espace {O_k} est celui des séries dont les coefficients de degrés strictement inférieurs à {k} sont nuls. On pose {[f]_d=\sum\limits_{k=0}^d(f)_kz^k}, de sorte que {f-[f]_d\in O_{d+1}}. La série identité est notée {I} ou {z}.

On note {\widehat f=\sum\limits_{k\ge0}|(f)_k|z^k}. Pour {r\in[0,+\infty]}, sa valeur est la somme positive, éventuellement infinie, {\widehat f(r)=\sum\limits_{k\ge0}|(f)_k|r^k}. Un terme de coefficient nul vaut zéro, même pour {r=+\infty}.

Enfin, {f\prec g} signifie {|(f)_k|\le|(g)_k|} pour tout {k}. Dans les séries majorantes, « coefficients positifs » est entendu au sens positif ou nul.

A. Premières propriétés

B. Composition

Pour {g\in O_1} et {f\in\mathbb C[[z]]}, on définit {(f\circ g)_m=\sum_{k=0}^m(f)_k(g^k)_m,}avec {g^0=1}. Chaque coefficient est donc défini par une somme finie.

C. Série majorante

Soit {g\in O_1} à coefficients positifs. On suppose qu’il existe {a,b>0} tels que {g\prec a\left(I+\frac{g^2}{b-g}\right).}Le quotient signifie ici la composée de {z^2/(b-z)=\sum\limits_{j\ge2}z^j/b^{j-1}} avec {g}.

D. Série réciproque

On considère {f=\lambda I+F}, avec {F\in O_2} et {\lambda\ne0}. On cherche une série {f^\dagger} telle que {f^\dagger\circ f=I=f\circ f^\dagger}.

On suppose maintenant {f=I+F}, avec {F\in O_2}, et l’on pose {G=f^\dagger-I\in O_2}.

E. Linéarisation formelle

On écrit {f=\lambda I+F}, {F\in O_2}, avec {\lambda\ne0} et {\lambda^n\ne1} pour tout {n\ge1}. On cherche une unique série {h=I+H}, {H\in O_2}, telle que {h^\dagger\circ f\circ h=\lambda I}.

F. Linéarisation dans le cas hyperbolique

On suppose {|\lambda|\notin\{0,1\}} et {\rho(f)>0}. Les séries {h=I+H} sont celles de E.

G. Linéarisation dans le cas elliptique

On suppose {|\lambda|=1} et {\lambda} non racine de l’unité. Les nombres {\omega_k=|\lambda^k-\lambda|}, {k\ge2}, sont strictement positifs, mais on admet qu’ils ne sont pas minorés par une constante strictement positive.

Pour {m\ge1}, on pose {\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_m=\min(1/5,\omega_{m+1},\ldots,\omega_{2m}),\quad\gamma_m\\[8pt]\displaystyle \quad=\alpha_m^{2/m}.\end{array}}Ainsi {0\lt \alpha_m\le1/5} et {0\lt \gamma_m\lt 1}.