2022-E3A-Psi-Corrigé

E3A-Polytech 2022 — PSI — Mathématiques

Le sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1

3. Espérance et variance de X

Exercice 2

Soient {n\ge1} et {E_n=\mathbb R_n[X]}, l’espace des polynômes réels de degré au plus {n}.

On définit ainsi l’application {f:E_n\to E_n}, {P\mapsto Q}.

Exercice 3

On cherche des fonctions {y\in\mathcal C^2(\mathbb R)} vérifiant {xy''(x)+y'(x)-4xy(x)=0.\tag{**}}

2. Recherche d’une solution en série entière

On suppose qu’une fonction {g} vérifiant (**) admet un développement {g(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n} de rayon strictement positif, avec {a_0=g(0)=1}.

On définit sur {\mathbb R} la fonction {F(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{2x\cos t}\,dt.}

3. Quelques propriétés de F

3.2. Pour {(x,t)\in\mathbb R\times[0,2\pi]}, on pose {h(x,t)=e^{2x\cos t}}.

4. Développement en série entière de F

Exercice 4

Soit {n\ge2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles carrées de taille {n}, {O_n} la matrice nulle, {I_n} la matrice identité et {\mathcal O_n(\mathbb R)} l’ensemble des matrices orthogonales. La transposée d’une matrice {M} est notée {M^T}.

Partie 1

2. Pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} et {\lambda\in\mathbb R}, on considère les matrices par blocs {U=\begin{pmatrix}\lambda I_n&-B\\[8pt]-A&I_n\end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix}I_n&B\\[8pt]O_n&\lambda I_n\end{pmatrix}.}

Partie 2

On note {\Delta_n} l’ensemble des matrices {M} pour lesquelles il existe {Q\in\mathcal O_n(\mathbb R)} tel que {Q^TMQ=M^T}. Une telle matrice est dite orthotransposable.

On rappelle la décomposition {\mathcal M_n(\mathbb R)=\mathcal S_n\oplus\mathcal A_n}, où {\mathcal S_n} est l’espace des matrices symétriques et {\mathcal A_n} celui des matrices antisymétriques.

8. Cas n = 2

On veut montrer que toute matrice réelle de taille {2} est orthotransposable.

9. Cas général avec n impair

On suppose désormais {n} impair et on note {[A,B]=AB-BA} pour deux matrices de taille {n}.