E3A 2022 — Mathématiques — PC
Le sujet comporte quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Un sauteur tente des hauteurs successives numérotées {1,2,\ldots}. Il ne peut tenter la hauteur {n+1} qu’après avoir réussi les {n} précédentes. Conditionnellement à ces réussites, la probabilité de succès au {n}-ième saut vaut {p_n=1/n} ; le premier saut est donc toujours réussi.
On note {S_k} l’événement « le sauteur a réussi son {k}-ième saut » et {X} le numéro du dernier saut réussi.
1. Rappeler sans démonstration la formule des probabilités composées.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Rappeler sans démonstration le développement en série entière de l’exponentielle au voisinage de {0}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par {X}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Déterminer {\mathbb P(X=1)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. Justifier que {\{X=2\}=S_1\cap S_2\cap\overline{S_3}}. En déduire {\mathbb P(X=2)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
6. Pour {n\ge2}, exprimer {\{X=n\}} à l’aide des {S_k}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
7. Déterminer la loi de {X}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
8. Vérifier par le calcul que {\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb P(X=n)=1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
9. Montrer que {X} possède une espérance et la calculer.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 2
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et leurs hypothèses vérifiées.
Pour {n\in\mathbb N}, on pose {u_n=(-1)^n\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n t\,dt}.
1. Étude de la convergence de la série
1.1. Vérifier que {(|u_n|)} est décroissante.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1.2. Montrer que {|u_n|\to0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1.3. Prouver que {\sum\limits_{n\ge0}u_n} converge.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Calcul de la somme
2.1. Linéariser {\cos^2(t/2)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.2. En déduire {I=\int_0^{\pi/2}(1+\cos t)^{-1}\,dt}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.3. Intégration terme à terme ?
2.3.1. Déterminer une relation de récurrence entre {|u_{n+2}|} et {|u_n|}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.3.2. Démontrer par récurrence que {|u_n|\ge1/(n+1)} pour tout {n\in\mathbb N}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.3.3. Peut-on utiliser un théorème d’intégration terme à terme pour les séries de fonctions pour calculer {\sum\limits_{n\ge0}u_n} ? Justifier rigoureusement.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.4. Posons {v_n(t)=(-1)^n\cos^nt} et {V_n(t)=\sum\limits_{k=0}^nv_k(t)}. Appliquer le théorème de convergence dominée à {(V_n)} pour calculer {\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 3
Soit {n\ge3}, {E_n=\mathbb R^n} muni du produit scalaire canonique et {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)}. On définit {f} par {f(e_1)=\sum\limits_{i=1}^ne_i} et {f(e_j)=e_1+e_j} pour {2\le j\le n}, puis {g=f-\operatorname{id}_{E_n}}.
1. Donner les matrices {F} et {G} de {f} et {g} dans {\mathcal B}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Justifier que {f} et {g} sont diagonalisables.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Diagonalisation de {f} et {g} dans une même base
3.1. Déterminer une base {\mathcal B_1} de {\operatorname{Im}g}, le rang de {g} et une base {\mathcal B_2} de {\ker g}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.2. Montrer que {\operatorname{Im}g} et {\ker g} sont supplémentaires orthogonaux.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.3. Montrer que {\operatorname{Sp}(g)=\{0,\lambda_1,\lambda_2\}} avec {\lambda_1,\lambda_2\ne0}, {\lambda_1+\lambda_2=0} et {\lambda_1>0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4. Détermination de {\lambda_1} et {\lambda_2} — Méthode 1
3.4.1. (i) Montrer que {\operatorname{Im}g} et {\ker g} sont stables par {g}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.1. (ii) Déterminer la matrice {H} dans {\mathcal B_1} de l’endomorphisme {h} induit sur {\operatorname{Im}g}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.1. (iii) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de {h}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.1. (iv) En déduire soigneusement {\lambda_1} et {\lambda_2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.2. Méthode 2
3.4.2. (i) Montrer que {\operatorname{Sp}(g^2)=\{0,\lambda_1^2,\lambda_2^2\}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.2. (ii) Déterminer la matrice de {g^2} dans {\mathcal B}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.2. (iii) En déduire {\lambda_1^2+\lambda_2^2} en fonction de {n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.4.2. (iv) Retrouver {\lambda_1} et {\lambda_2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.5. Déterminer {P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} dont la première colonne a tous ses coefficients égaux à {1}, sauf éventuellement le premier, et telle que {P^{-1}GP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,0,\ldots,0)}. On ne demande pas {P^{-1}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.6. Justifier que {P^{-1}FP} est diagonale.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Résoudre sur {\mathbb R} le système {X’(t)=FX(t)+tU}, où {U} est la première colonne de {P}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 4
Lorsque l’intégrale existe, on pose {f(x)=\int_0^{+\infty}(\sin t/t)^2e^{-xt}\,dt}.
1. Continuité de {f}
1.1. Montrer que {t\mapsto(\sin t/t)^2} se prolonge continûment sur {\mathbb R_+}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1.2. Montrer que {\int_1^{+\infty}(\sin t/t)^2\,dt} converge.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1.3. En déduire que {(\sin t/t)^2} est intégrable sur {\mathbb R_+^*}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
1.4. En déduire que {f} est définie et continue sur {\mathbb R_+}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Régularité de {f}
Soient {0\lt a\lt b} et {x\in[a,b]}.
2.1.1. Montrer que {0\le|\sin t|\le t} pour {t\ge0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.1.2. Montrer que {0\le(\sin^2t/t)e^{-xt}\le te^{-at}} pour {t>0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.1.3. Montrer que {0\le\sin^2t\,e^{-xt}\le e^{-at}} pour {t>0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2.2. En déduire que {f\in\mathcal C^2(\mathbb R_+^*)} et donner une expression intégrale de {f''(x)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. Une autre expression de {f''}
On note {i} un complexe tel que {i^2=-1}.
3.1. Montrer que {|e^{(i\theta-x)t}|=e^{-xt}} pour {\theta\in\mathbb R} et {x>0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.2. En déduire que {|e^{(i\theta-x)t}|\to0} quand {t\to+\infty}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3.3. Montrer que {f''(x)=1/(2x)-x/(2(x^2+4))} pour {x>0}. On pourra utiliser la formule d’Euler pour le sinus.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Une autre expression de {f}
4.1. Montrer que {f(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4.2. Montrer que {f'(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4.3. Calculer la dérivée de {G(t)=t\ln(t^2+4)-2t+4\arctan(t/2)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4.4. Déterminer une expression de {f(x)} au moyen de fonctions usuelles pour {x>0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. Calculer {\int_0^{+\infty}(\sin t/t)^2\,dt}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :