2022-E3a-Mp1-Corrigé

Exercice 1

1. Pour tout réel {x}, lorsque l’intégrale existe, on pose {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt.}

2. Pour {n\in\mathbb N}, on pose {I_n=\int_0^{+\infty}t^{2n}e^{-t^2}\,dt}.

3. Pour tout réel {x}, lorsque cela est possible, on pose {H(x)=\int_0^{+\infty}\cos(xt)e^{-t^2}\,dt.}

4. On retrouve ce résultat par une autre méthode.

Exercice 2

1. Questions de cours.

Soient {k,n\in\mathbb N^*}. On dispose de {k} urnes contenant chacune {n} boules numérotées de {1} à {n}. On tire une boule au hasard de chaque urne, indépendamment des autres tirages. On note {X_n} le plus grand numéro obtenu.

Exercice 3

Soit {E} un espace euclidien, de produit scalaire {(\cdot\mid\cdot)} et de norme {\|\cdot\|}.

1. Questions de cours.

On identifie désormais {\mathbb R^n} à {M_{n,1}(\mathbb R)}.

Partie 1

On suppose {n\ge2} et l’on pose {B=\{X:\|X\|\le1\}}. Pour {X=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf T}}, on définit {F(X)=\sum_{\substack{1\le i,j\le n\\[8pt]i\ne j}}x_ix_j.}Par exemple, pour {n=3}, {F(X)=2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)}.

Partie 2

On note {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)} la base canonique orthonormale. Pour {X,Y} de coordonnées {x_i,y_i}, on pose {\begin{array}{l}\displaystyle \varphi(X,Y)\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac12\sum_{\substack{1\le i,j\le n\\[8pt]i\ne j}}(x_iy_j+x_jy_i).\end{array}}Pour {n=3}, cette expression est la somme des six termes {x_iy_j} d’indices distincts.

10. Soit {J} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

Exercice 4

Questions préliminaires

Pour {n\ge2}, on pose {\omega=e^{2i\pi/n}}.

4. On considère {P(X)=\sum\limits_{k=1}^nkX^{k-1}}.

On suppose désormais {n\ge4}. On considère {F=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\[8pt]0&0&1&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]0&\cdots&0&0&1\\[8pt]1&0&\cdots&0&0\end{pmatrix},\quad A=P(F).}

5. Réduction de {F}

6. Réduction de {A}